Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Степень с рациональным показателем

Определение: Степенью с рациональным показателем (mÎZ, nÎN, n>1) положительного действительного числа a называется число , т.е. .

Степень числа 0 определена только для положительных показателей, по определению: для любого r > 0. 00 и 0r не определены.

Рациональная степень отрицательного числа не определена из-за возможности представления рационального числа различными эквивалентными дробями, например,

–2 = = = – противоречие.

Свойства степени с рациональным показателем положительного действительного числа

1) ;

2) ;

3) ; следствие:

4) ;

5) ; 6) ;

7) если a > 0, то ;

8) если a >1 и r > 0, то ; если a >1 и r < 0, то 0< ;

9) если a >1 и r1> r2, то ; если 0 < a< 1 и r1> r2, то .

Докажем некоторые из них.

1) Запишем числа r1 и r2 в виде дробей с одинаковыми знаменателями: , , где k, m – целые числа, . Тогда: = . Заметим, что , отсюда следует свойство 6).

2) .

3) Запишем числа r1 и r2 в виде дробей с разными знаменателями: , , где l, m – целые числа, . .

7) Пусть , где , , тогда . Ранее было доказано, что . По определению корня n-ой степени .

8) Рассмотрим случай a > 1.

Пусть p > 0, тогда по свойству степени с целым показателем . По свойству корня n-й степени , следовательно, , т.е. .

Пусть p < 0, тогда . По свойству корня n-й степени , следовательно, .

Аналогично рассматривается случай 0 < a < 1.

9) Пусть a > 1 и r1 > r2. Рассмотрим разность = . На основании пункта 7) , на основании пункта 8), учитывая, что r1r2 > 0, >0, следовательно, >0, значит, >0, т.е. . Аналогично рассматривается случай 0 <a < 1.

Рассмотрим примеры вычисления значений числовых выражений, содержащих степени и корни

1. Применение свойств степеней и корней.

Пример 1. Вычислим значение выражения = = = = 32 = 9.

Пример 2. Вычислим значение выражения = = = = = = 4×6 = 24.

Пример 3. Вычислим значение выражения =

= = = = =Ä.

Т.к. , то , следовательно, Ä = .

2. Исключение иррациональности в знаменателе дроби

а) ; б) ;

в) = = ;

 

г) = = = = = .

3. Вычисление сложного радикала = = .

Пример 3. а) = = = .

б) = = = = = .

в) = = = = = = .

г) = = .

 

 


Тесты

Степень с целым показателем =1

Уровень1

1.Верно ли, что

а) ; б) ; в) г) ;

д) ; е) ?

2.Установите соответствие между выражениями :

а) ; б) ; в) 6-1; г) ; д) ; е) 6-2

и их значениями

а) 6,25; б) 2,5; в) 2/ 3; г) 1/6; д) 1/36; е) 4/9.

 

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1. а)- е) – верно; 2.а) – б); б) -в); в) – г) ; г) – а) ;д)- e); е)- д).

 

 

Уровень 2

1. Верно ли, что а) ; б) ; в)

г) ; д) ; е) ?

2. Установите соответствие между выражениями :

а) ; б) ; в) 16 -1;г) ; д) ; е) - 4-2

и их значениями

а) 25/144; б)3,5; в) 3/4; г) 1/16; д) -1/16; е) 4/49.

 

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1. г,д,е) – верно; 2.а) – б); б) -в); в) – г) ; г) – а) ;д)- e); е)- д).

 

Уровень3

1. Значение выражения: 4-3+4-2+4-1+40 +43+42+41 равно

а) 85 ;б) 1; в) 0; г)80

2. Выражение (a-1- b-1) ab при a ≠ 0, b ≠ 0 тождественно равно

а) a - b; б) b-a; в) (b-a) ab; г)(a - b) ab.

 

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1.а); 2.б).

 

Уровень 4

 

1. Значение выражения: 1,5-3+1,5-2+1,5-1+1,50 +1,53+1,52+1,51 равно

а) 85 ;б) 1; в) 0; г) 9 ;

2 . Упростите выражение (a-1- b-1) -1 (a-b);

а)-ab; б)1; в) (b+a) (a-b); г) ab.

 

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1.г); 2.a)

 

 

Уровень 5

1. Значение выражения 4(-0,2) –2 + равно

а) 85, 5;б) 3,75; в)101,5; г) 98,5.

2. Результат упрощения выражения

( a – 3+ b – 3) – 1 (a 2 – ab+ b 2)(ab) – 1 равен

а) ; б) ; в) ( a 3 + b 3) (a 3b – a 2b 2+ b 3) ; г) a + b.

 

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1.г); 2.a)

 

 

Свойства степени с целым показателем = 2

Уровень 1

1.Установите соответствие между выражениями

а) (3 –1)-2; б) 3 –13 –2 ; в) 2 –3: 2 –2 ; г) 23 : 25

и их значениями

а) ¼ ; б) 1/2; в) 1/ 27; г) 9

 

2. Установите соответствие между выражениями

а) b-3b-5; б) b-3:b-5; в) (b-6)- 4; г) (b5) – 6

и результатами выполнения указанных в них действий

а) b2; б) b-8; в) b-30; г) b24

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1 .а)– б); б)- а); в) – г) ; г) – в) ;

2.а)– г); б)- в); в) – б) ; г) – а) ;

 

 

Уровень 2

 

1.Установите соответствие между выражениями

а) 2 –1: 2 –2 ; б) 23 ∙ 2-1 ; в) 2 –3: 2 –2 +2 2 ∙ 2-1 ; г) 23 : 24 -2 1 ∙ 2 -2

и их значениями

а)0; б)2; в) 4; г)2 ½.

 

2. Установите соответствие между выражениями

а) b3b-5; б) b3:b-5; в) (b6)-4; г) (b-5) – 6

и результатами выполнения указанных в них действий

а) b8; б) b-2; в) b30; г) b-2 4.

 

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1 .а)– б); б)- в); в) – г) ; г) – а) ;

2.а)– б); б)- а); в) – г) ; г) – в) ;

 

 

Уровень 3

1.Результат выполнения действий 2 –3: 2 –2 -2 2 ∙ 2 -1 - 23 : 24 +( 2 -1)2 равен

а)0; б)2; в) -1,75; г)2 ½.

 

2. Больше 1 числа:

а) (1,2) –1(1,2) 2; б) 0,4-3 : 0,4; в) ((-2)-3)-1;г) ((-0,2)-3)-1;

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1.в); 2.a),б)

 

 

Уровень 4

1. Результат выполнения действий:

(3 –1 + 1,5 –1) : 5-2 – ((4,23)-1) 0 + 3∙0,1 -2

а)325; б)324; в) 25,75; г) -10,6

 

2. Больше 1 числа:

а)(-2) ( -3 ) ; б) – ((-2)-3)-(-1) ; в) ( ) –3; г)( -2,5)0

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1.б); 2.б)

 

Уровень5

1. Результат выполнения действий

((3 –1 – 1,5 –1) (3 –1 + 1,5 –1) : 5-2 – (-(4,23)-1) 0 + 3∙0,1 (– 2) равен

а)25; б)300; в) 290 ⅔; г) 1061/3.

2. Больше 1 число

а)(2,50 + ) –3; б) (3 –1 – 5 –1)-1; в) (3 –1 – 5 –1)0 ; г ) ((1/3) –1 – 5 –1)-1.

 

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1.в); 2.б).

Корень n-ой степени. Арифметический корень

Определение 1 : Корнем n-й степени (nÎN, n>1) из числа a называют такое число, n-я степень которого равна a.

Для того, чтобы найти корень n-ой степени из числа a нужно решить уравнение xn=a. При чётном n это уравнение имеет два корня: отрицательный и неотрицательный. Неотрицательный корень уравнения xn=a. называется арифметическим корнем.

Арифметическим корнем n-й степени (nÎN, n>1) из действительного числа a называют такое неотрицательное число b, n-я степень которого равна a, обозначают b= . (Читают: «корень n-ой степени из числа a», слово «арифметический» опускают.)

По определению =b , b³0 Û , значит, .

Корень 2-й степени обозначают .

Основные свойства арифметического корня n-ой степени из неотрицательного действительного числа (a³0, b³0, nÎN, n>1, kÎN, k>1):


1) ;

2) (b¹0);

3) ;

4) ;

 

5) , (pÎZ, если p£0, то a¹0),

6) Þ .

 


 

 

 

Понятие степени с дробным показателем = 5

Уровень 1

 

1. Верно ли, что

а) ; б) в) г) ?

2. Верно ли, что

а) ; б) ; в) ; г) ;

 

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1. а) - г) верно ; 2 а) - г) верно.

 

Уровень 2

1. Выражение равно

а) 2 2 ; б) 2 -2 ; в) ; г) .

2. Установите соответствие между степенями с дробным показателем :

а) ; б) ; в) ; г)

и корнями n –ой степени

а) ; б) ; в) ; г) .

 

 

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1.г) ; 2 а) - г); б) – в) ; в) – а); г) – б).

 

Уровень 3

1.Установите соответствие между выражениями

 

а) 100 - 2 ; б)100 – 0,5 ; в) 100 -1,5; г). 100 1,5

и их значениями:

а) 1000; б) 0,001; в) 0,01; г). 0,1.

 

2. Вычислите :

 

а) 1; б)3; в)5; г).7.

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1. а) - в); б) – г) ; в) –б); г) – а). 2.в).

 

Уровень 4

 

1.Установите соответствие между выражениями

а) 64 -1/3; б)64 – 0, 5 ; в) 64 – 5/6; г). 645/6

и их значениями:

а)32; б)1/32; в) 1/8; г). ¼.

 

2.Вычислите : 0,00

 

а) 37; б)33,4 ; в) 8,8; г).8.

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1. а) - г); б) – в) ; в) –б); г) – а). 2.б).

 

Уровень 5

 

1. Вычислите : 0,00

 

а) 85/3; б) 1128 ; в) -65/3 г)65/3.

2. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

 

а) б) в) г)

 

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1. в) ; 2.а).

 

Свойства степеней с дробным показателем=6

Уровень 1

1.Установите соответствие между выражениями

а) ; б) ; в) ; г) ;

и их числовыми значениями

 

а) 4; б)6; в) 24,5 ; г) .

2. Результат разложения на множители выражения -

 

( а – положительное число) равен

 

а) ; б) ; в) ; г) ;

 

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1.а) - б); б) – а) ; в) –г); г) – в). 2.в).

 

 

Уровень 2

 

1.Установите соответствие между выражениями

а) : ; б) ; в) ; г) ;

и их числовыми значениями

 

а)0,25; б) 1/3; в) 10; г)0,16 .

 

2. Результат разложения на множители выражения a - b

( a, b – положительные числа); равен

а)нельзя разложить; б) ; в) ; г)

 

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1.а) - б); б) – а) ; в) –г); г) – в). 2.г)

 

 

Уровень 3

 

1. Результат выполнения действий равен

 

а) 0,25; б) -0,25; в) 16; г)0,16 .

 

2.Результат разложения на множители выражения (a, b – положительные числа) равен

а) ; б) в) ; г) .

 

 

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1. б); 2.в)

 

Уровень 4

 

1.Результат выполнения действий равен

 

а) 3 ; б)5; в) 7 ; г)16 .

 

2. Результат сокращения дроби равен

а) ;б) ; в) ; а)

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1.в); 2.б).

 

Уровень 5

1.Результат упрощения выражения равен

 

a)-2x; б)1/ 2x; в) 2x; г)-1/2x.

 

 

2.Разложите на множители:

а) ;б) ;

в) ;г) ;

 

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1.в); 2.г).

 

 

Представление корня n – ой степени в виде степени с дробным показателем =7

Уровень 1

 

1. Верно ли, что

а) ; б) ;в) ; г) ?

2. Вычислите значение выражения

 

а) 4 ; б) 8; в) 1; г) 2 .

 

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1.а) - г) верно; 2.г).

Уровень 2

 

1. Верно ли, что

а) ; б) ; в) ; г) ?

2. Вычислите значение выражения

а) 5; б) ; в) 25; г) .

 

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1.а) - б) верно; 2.в).

 

 

Уровень 3

1.Результат упрощения выражения

а) ; б) ; в) 2; г) .

2. Результат упрощения выражения:

а) ; б) 4; в)1; г)2;

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1.г) 2.г).

 

 

Уровень 4

 

1. Упростите выражение

 

а) 5a5; б) 2|a|5 + 3a 5 ; в) 2|a|5 - 3a 5 ; г) a 5 .

 

2. Результат упрощения выражения

 

 

а) ; б) ; в) 1; г) 2 .

 

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1.б) 2.2).

 

 

Уровень 5

 

1. Вычислите:

а))8; б) 4; в)1; г) 0,5;

 

2.Результат упрощения выражения

равен

 

а) + ; б) + ; в) 2; г) 2 .

 

Выберите правильные ответы

 

Ответы

1.г) 2. б).

 

 


Комбинированные задания по разделу « Степень с целым показателем»=8

 

Уровень1


1. Верно ли, что 2 – 3 равно:

а)-6 ; б) –1/8 в) 0,125; г) 8?

2. Верно ли, что 5-1 :

а) отрицательное число; б) число, большее, чем 2;

в) число, меньшее 1; г) число, большее 1?

3. Результате упрощения выражения а – 5 6) – 2 : а –3 равен

а) а - 4 ; б) а -14 ; в) а – 6 ;г) а –12.

4. Значение выражения 2 - 4 +(2-1)2:8-2 равно:

а)15 ; б) -8 ; в) ; г) 16

 

Выберите правильные ответы.

 

Ответы

1. г); 2. в) ; 3. б); 4. г).

 

 

Уровень2

1.Верно ли, что 2 – 4 равно

а)-8 ; б) –0,0125 в) 0,0625; г) 8?

2.Верно ли, что2 - 4

а) отрицательное число; б) число, большее, чем 8;

в) число, меньшее 1; г) число, большее 1?

3. Результат упрощения выражения (а –3 )-64) -3 : а –3 равен

а) а6; б) а -7 ; в) а – 13; г) а 9.

4. Значение выражения (4-1 )-2 + (2-1) -3:2 -3 равно:

а)80; б) – 4 ; в) 0,5; г) –64.

 

Выберите правильные ответы.

 

 

Ответы

1. в); 2. в) ; 3. г); 4. а).

 

Уровень3

1.Значение выражения 3 - 3 + - ( 3-1)4:3 –1 равно:

а) 9; б) 1/9; в)-30; г) другой ответ;

2. Результат упрощения выражения а –5a7 +a 3 ∙a0 :(а—1) –2 равен

а) а2; б) а2-3; в) а2 +а ; г) другой ответ;

3.Больше 1 числа:

а) 3-1; б) 0,2-1; в) ; г) 4,456 0;

4. Запись вида 4,05∙ 10 -2 - это стандартный вид числа:

а) 40,5; б) 405; в) 0,0405; г) 4,05 ;

 

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1. а); 2. в); 3. б), в) ; 4. б).

 

 

Уровень 4

1. Значение выражения 4 -2 + - ( 2-1)8: 4 –2 равно:

а) –7; б) 1/8; в)32; г) другой ответ;

 

2.Результат упрощения выражения а –12 :a- 4 +(a 13 )-1 ∙a0 :(а—12) равен

а) а8+а; б) а312; в) а-8-1 ; г) другой ответ;

 

3. Меньше 1 число

а) 0,3-1; б) 2,2 -1; в) ; г) 4,4 0;

4. Запись вида 1,4005∙ 10 -2 - это стандартный вид числа:

а) 140,05; б) 14005; в) 0,0014005; г) 0,014005.

 

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1. в); 2. в); 3. б); 4. г).

 

Уровень 5

1. Значение выражения ;

а) –7; б) 1/4; в)1; г) другой ответ;

2.Упростите выражение : (а+b)-2: ;

а)( а -b) 2; б) ( а -b) - 2; в) ( а -b)-1; ; г) другой ответ;

3.Не больше 1 число :

а) 0,3-(-1 ) ; б) 2,25-5; в) ; г) (4,04) 0;

4. Запись вида 3 ∙10 -1 - это стандартный вид числа:

а)2 ; б) ; в)10 ; г) 100 ;

 

Выберите правильные ответы

 

 

Ответы

1. а); 2. а); 3.а), б),г); 4. б).

 




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.