Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Ускорение и его составляющие

Скорость

Для характеристики движения материаль­ной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответ­ствует радиус-вектор r0 (рис. 3). В течение малого промежутка времени Dt точка прой­дет путь As и получит элементарное (бес­конечно малое) перемещение Dr.

Вектором средней скорости <v> назы­вается отношение приращения Dr радиуса-вектора точки к промежутку времени Dt:

Направление вектора средней скоро­сти совпадает с направлением Dr. При неограниченном уменьшении Dt средняя скорость стремится к предельному значе­нию, которое называется мгновенной ско­ростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущей­ся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касатель­ной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения Dt путь Ds все больше будет приближаться к |Dr|, поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скоро­сти равен первой производной пути по времени:

При неравномерном движениимодуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной (v) —средней ско­ростьюнеравномерного движения:

Если выражение ds = vdt(см. форму­лу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+Dt, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Dt:

В случае равномерного движениячисло­вое значение мгновенной скорости посто­янно; тогда выражение (2.3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1до t2, дается интегралом

Ускорение и его составляющие

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величи­ной, характеризующей быстроту измене­ния скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Рассмотрим плоское движение,т. е. такое, при котором все участки тра­ектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки

А в момент времени t. За время Dtдвижу­щаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v1=v + Dv. Перенесем вектор v1 в точку А и найдем Dv (рис.4).

Средним ускорениемнеравномерного движения в интервале от t до t+Dt на­зывается векторная величина, равная от­ношению изменения скорости Dv к интер­валу времени Dt:

Мгновенным ускорением а(ускорени­ем) материальной точки в момент време­ни t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение а есть вектор­ная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Dv на две составля­ющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор

AD, по модулю равный v1. Очевидно, что вектор CD, равный Dvt, определяет изме­нение скорости по модулю за время Dt: Dvt=v1- v. Вторая же составляющая вектора Dv-Dvn характеризует изменение скорости за время Dt по направлению.

Тангенциальная составляющая уско­рения

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускоре­ния. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому As можно счи­тать дугой окружности некоторого радиу­са r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует Dvn/AB = v1/r, но так как AB = vDt, то

В пределе при Dt®0 получим v1®v.

Поскольку v1®v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равно­бедренный, то угол ADE между v и Dvn стремится к прямому. Следовательно, при Dt®0 векторы Dvn и v оказываются взаим­но перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к тра­ектории, то вектор Dvn, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускоре­ния, равная

называется нормальной составляющей ус­коренияи направлена по нормали к тра­ектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорениетела есть геометри­ческая сумма тангенциальной и нормаль­ной составляющих (рис.5):

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту из­менения скорости по направлению (на­правлена к центру кривизны траекто­рии).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения дви­жение можно классифицировать следую­щим образом:

1) аt=0, аn = 0 — прямолинейное рав­номерное движение;

2) at=a=const, an=0 — прямолиней­ное равнопеременное движение. При та­ком виде движения

Если начальный момент времени t1=0, а начальная скорость v1=v0, то, обозна­чив t2 = t и v2 = v, получим a = (v-v0)/t, откуда

v =v0+at.

Проинтегрировав эту формулу в пре­делах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, прой­денного точкой, в случае равнопеременно­го движения

3) аt=f(t), аn=0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) аt=0, аn=const. При аt=0 ско­рость по модулю не изменяется, а изменя­ется по направлению. Из формулы аn= v2/r следует, что радиус кривизны до­лжен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равно­мерным;

5) аt=0, аn¹0 — равномерное кри­волинейное движение;

6) at=const, an¹0—криволинейное равнопеременное движение;

7) at= f(t), an¹0 — криволинейное движение с переменным ускорением.

 




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.