Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Тригонометрические функции. Функции комплексного переменного:

Лекция

Функции комплексного переменного:

1.Множество комплексных чисел

< r

 

2.Внутренность круга радиусом r = и с центром z = 0.

= r

3, Смещение центра окружности

= r

 

 

4. Окружность с центром в точке и радиусом r.

r ⩽ < R

5. A< ImZ ⩽ B

 

6. A < ReZ < B

7. j < argZ <j

 

 

Понятие функции комплексного переменного.

Пусть D и E – два множества комплексных чисел.

Определение:

Если каждому комплексному числу z из множества D (z ∈ D) по некоторому закону f поставлено в соответствие определению комплексного числа W ∈ E , то говорят что на множестве D задана однозначная функция комплексного переменного w = f(z).

Определение:

Множество D называется областью определения функции w = f(z), а множество E область значения функции и если f(D) ⊂ E.

Пример:

1) f(z) = –однозначная функция комплексной переменной

D(f) - вся комплексная плоскость

2) f(z) = – однозначная функция комплексной переменной

D (f) - вся комплексная плоскость

3) f(z) = (n⩾2) - многозначная функция комплексной переменной

D (f) - вся комплексная плоскость

4) f(z) = argZ = argz +2πk, k ∈ Z -

многозначная функция комплексной переменной

D (f) - вся комплексная плоскость

 

Функцию комплексноой переменной можно записать в следующем виде

f (z)=U(x,y) + I V(x,y) , где z = x + iy, z ∈ D

U(x,y) и V(x,y) – функции двух действительных переменных

U(x,y) = Ref(z) – действительная часть функции комплексного переменного

V(x,y) = Imf(z) – мнимая часть функции комплексного переменного

Пример:

Найти действительную и мнимую часть функции комплексного переменного

f (z) = 3z +1/z ; z = x + i

f (z)= 3(x + iy) +1/ x + iy = 3x+3 iy +

(x- iy) /(x- iy) (x- iy) = 3x+3 iy +(x- iy) /( + )=

(3x + (x / ( + )) + ( 3y-y /( + ))i

 

U(x,y) = (3x + x /( + ))

V(x,y) =+ ( 3y-y /( + ))

Итак задание функции комплексной переменной равносильна заданию функции зависяшей от двух действительных переменных.

Основные элементарные функции:

1. Показательная функция

1) W = ; z = x + iy

W = = = ( cosy + isiny)

ReW = cosy

ImW = siny

= = = = = 0

Область определения: D (f) - вся комплексная плоскость

 
 
Показательная функция отлична от 0 во всех точках комплексной плоскости. Показательная функция не имеет смысл при .!!!!!

 


2) – периодическая функция, с периодом T = 2πi

Покажем это

= = (cos2π + isin2π) = => функция периодическая

2. Логарифмическая функция

W= lnZ - многозначная функция комплексной переменной

D (f) - вся комплексная плоскость (искл. z = 0)

z = r * - показательная форма записи

W= lnZ = U + iV

Z =

= = = r * => r =

v = + 2πk, k ∈ Z

W= Ln +i(argz +2πk), k ∈ Z

 
 
LnZ = Ln +i(argz +2πk), k ∈ Z

 


LnZ= Ln +iargz
При k = 0, функция однозначная, её называют главным значением логарифма и обозначают LnZ, таким образом

Тригонометрические функции




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.