Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Энергия магнитного поля



Если в контуре с индуктивностью L течёт ток I, то в момент размыкания цепи возникает индукционный ток и им совершается работа. Эта работа совершается за счёт энергии исчезнувшего при размыкании цепи магнитного поля. На основании закона сохранения и превращения энергию магнитного поля превращается главным образом в энергию электрического поля, за счёт которой происходит нагревание проводников. Работа может быть определена из соотношения

dA=εсмIdt

Так как , то

dA=-LIdI

 

Уменьшение энергии магнитного поля равно работе тока, поэтому

(16.18)

Формула справедлива для любого контура и показывает, что энергия магнитного поля зависит от индуктивности контура и силы тока, протекающего по нему.

Рассчитаем энергию однородного магнитного поля длинного соленоида, индуктивность которого определяется по формуле L = μμ0n2V. B этом случае формула энергии примет вид

Учитывая, что напряжённость поля внутри бесконечно длинного соленоида Н=In, получаем

(16.19)

Выразим энергию через индукцию магнитного поля B= μμ0H:

(16.20)

Или

(16.21)

Вследствие того, что магнитное поле соленоида однородно и локализовано внутри соленоида, энергия распределена по объёму соленоида с постоянной плотностью

(16.22)

Учитывая последние три формулы, получаем

Учитывая правило Ленца, можно заметить, что явление самоиндукции аналогично проявлению инертности тел в механике. Так, вследствие инертности тело не мгновенно приобретает определённую скорость, а постепенно. Так же постепенно происходит и его торможение. То же самое, как мы видели, происходит и с силой тока при самоиндукции. Эту аналогию можно провести и дальше.

и

эти уравнения эквивалентны.

т.е. m ~L , υ~I

Эквивалентны и формулы

Примеры решения задач

Пример. В магнитном поле, изменяющемся по закону B=B0cosωt (B0=5мТл,

ω=5с-1), помещён круговой проволочный виток радиусом r=30см, причём нормаль к витку образует с направлением поля угол α=30º. Определите ЭДС индукции, возникающую в витке в момент времени t=10с.

Дано: B=B0cosωt; B0=5мТл=5∙10-3 Тл; ω=5с-1; r=30см=0,3 м; α=30º; t=10 с.

Найти: εi.

Решение: Согласно закону Фарадея,

, (1)

Где магнитный поток, сцепленный с витком при произвольном его расположении относительно магнитного поля.

Ф=BScosα.

По условию задачи B=B0cosωt, а площадь кольца S=πr2, поэтому

Ф=πr2 B0cosωt∙cosα. (2)

Подставив выражение (2) в формулу (1) и продифференцировав, получаем искомую ЭДС индукции в заданный момент времени:

Ответ: εi=4,69 мВ.

 

Пример В соленоиде длиной ℓ=50см и диаметром d=6см сила тока равномерно увеличивается на 0,3А за одну секунду. Определите число витков соленоида, если сила индукционного тока в кольце радиусом 3,1 см из медной проволоки (ρ=17нОм∙м), надетом на катушку, Iк=0,3 А.

Дано: ℓ=50см=0,5 м; d=6см=0,06м; ; rк=3,1см=3.1∙10-2м; ρ=17нОм∙м=17∙10-9 Ом∙м; Iк=0,3 А.

Найти: N.

Решение. При изменении силы тока в соленоиде возникает ЭДС самоиндукции

(1)

где - индуктивность соленоида. Подставив это выражение в (1)

с учётом

.

ЭДС индукции, возникающая в одном кольце, в N раз меньше, чем найденное значение ЭДС самоиндукции в соленоиде, состоящем из N витков, т.е.

. (2)

Согласно закону Ома, сила индукционного тока в кольце

, (3)

где - сопротивление кольца. Поскольку ℓк=πd, а Sк=πrк2, выражение (3) примет вид

Подставив в эту формулу выражение (2), найдём искомое число витков соленоид

.

Ответ: N=150

Пример В однородном магнитном поле подвижная сторона (её длина ℓ=20см) прямоугольной рамки (см. рисунок) перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью υ=5 м/с. Определите индукцию В магнитного поля, если возникающая в рамке ЭДС индукции εi=0,2 В.

Дано: ℓ=20см=0,2 м; υ=5 м/с; εi=0,2 В.

Найти: B.

Решение. При движении в магнитном поле подвижной стороны рамки поток Ф вектора магнитной индукции сквозь рамку возрастает, что, согласно закону Фарадея,

, (1)

приводит к возникновению ЭДС индукции.

Поток вектора магнитной индукции, сцепленный с рамкой,

Ф=Bℓx. (2)

Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что B и ℓ - величины постоянные, получаем

откуда искомая индукция магнитного поля

Ответ: В=0,2 Тл.

Пример В однородном магнитном поле с индукцией В=0,2 Тл равномерно вращается катушка, содержащая N=600 витков, с частотой n=6 с-1. Площадь S поперечного сечения катушка 100см2. Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определите максимальную ЭДС индукции вращающейся катушки.

Дано: В=0,2 Тл; N=600; n=6 с-1; S=100см2=10-2 м2.

Найти: (εi)max.

Решение. Согласно закону Фарадея,

где Ф – полный магнитный поток, сцеплённый со всеми витками катушки. При произвольном расположении катушки относительно магнитного поля

Ф=NBScosωt, (1)

где круговая частота ω=2πn. Подставив ω в (1), получим

Ф=NBScos2πnt.

Тогда

εi=-NBS2πn(-sin2πnt)=2πnNBSsin2πnt,

εi=( εi)max при sin2πnt=1, поэтому

i)max=2πnNBS

Ответ: (εi)max=45,2 В.

Пример Однослойная длинная катушка содержит N=300 витков, плотно прилегающих друг к другу. Определите индуктивность катушки, если диаметр проволоки d=0,7 мм (изоляция ничтожной толщины) и она намотана на картонный цилиндр радиусом r=1 см. .

Дано: N=300; d=0,7 мм=7∙10-4 м; r=1 см=10-2 м.

Найти: L.

Решение. Индуктивность катушки

(1)

где Ф – полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками катушки; I - сила тока в катушке.

Учитывая, что полный магнитный поток

Ф=NBS

(N-число витков катушки; В – магнитная индукция; S – площадь поперечного сечения катушки); магнитная индукция в катушке без сердечника

0 – магнитная постоянная; ℓ- длина катушки), длина катушки

ℓ=Nd

(d-диаметр проволоки; витки вплотную прилегают друг к другу), площадь поперечного сечения катушки

S=πr2,

Получим осле подстановки записанных выражений в формулу (1) искомую индуктивность катушки:

Ответ: L=1,69 мГн.

Пример Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом трансформации k=0,1 включена в сеть с источником переменного напряжения с ЭДС ε1=220 В. Пренебрегая потерями энергии в первичной обмотке, определите напряжение U2 на зажимах вторичной обмотки, если её сопротивление R2=5 Ом и сила тока в ней I2=2А.

Дано: k=0,1; ε1=220 В; R2=5 Ом; I2=2А.

Найти: U2.

Решение. В первичной обмотке под действием переменной ЭДС ε1 возникает переменный ток I1, создающий в сердечнике трансформатора переменногый магнитный поток Ф, который пронизывает вторичную обмотку. Согласно закону Ома, для первичной обмотки

где R1 – сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I1R1 при быстропеременных полях мало по сравнению с ε1 и ε2. Тогда можем записать:

(1)

ЭДС взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке,

(2)

Из выражений (1) и (2) получаем

,

где - коэффициент трансформации, а знак «-» показывает, что ЭДС в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе. Следовательно, ЭДС во вторичной обмотке

ε2=k ε2.

Напряжение на зажимах вторичной обмотки

U2= ε2-I2R2= kε1-I2R2.

Ответ: U2=12 В.

 

Пример Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки диаметром d=0,4 мм имеет длину ℓ=0.5 м и поперечное сечение S=60см2. За какое время при напряжении U=10 В и силе тока I=1,5 А в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии поля внутри соленоида? Поле считать однородным.

Дано: d=0,4 мм=0,4∙10-4 м; ℓ=0,5 м; S=60см2=6∙10-3 м2; I=1,5А; U=10В; Q=W.

Найти: t.

Решение. При прохождении тока I при напряжении U в обмотке за время t выделяется теплота

Q=IUt. (1)

Энергия поля внутри соленоида

(2)

где (N – общее число витков соленоида). Если витки вплотную прилегают друг к другу, то ℓ=Nd, откуда . Подставив выражение для В и N в (2), получаем

. (3)

Согласно условию задачи, Q=W. Приравняв выражение (1) и (3),найдём искомое время:

Ответ: t =1,77 мс.

 

Пример Катушка без сердечника длиной ℓ=50 см содержит N=200 витков. По катушке течёт ток I=1А. Определите объёмную плотность энергии магнитного поля внутри катушки..

Дано: ℓ=50 см=0,5 м; N=200; I=1 А.

Найти: ω.

Решение. Объёмная плотность энергии магнитного поля (энергия единицы объёма)

, (1)

где - энергия магнитного поля (L - индуктивность катушки); V=Sℓ- объём катушки (S - площадь катушки; ℓ- длина катушки).

Магнитная индукция поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью μ равна

.

Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида,

.

Учитывая, что Ф=LI, получаем формулу для индуктивности соленоида:

(2)

Подставив выражение (2) в формулу (1) с учётом того, что , найдём искомую объёмную плотность энергии магнитного поля внутри катушки:

Ответ: ω=0,1 Дж/м3.

 

 




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.