Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Теорема. (О сжимающем преобразовании)



Пусть в полном метрическом пространстве (Х, d). Тогда существует в точности одна неподвижная точка этого преобразования и для любой точки , последовательность сходится к .

Более общая формулировка этой теоремы гарантирует нам сходимость.

Определение. Изображением называется функция S, определенная на единичном квадрате и принимающая значения от 0 до 1 или

Пусть трехмерное аффинное преобразование , записано в виде

и определено на компактном подмножестве декартова квадрата [0..1]x[0..1]. Тогда оно переведет часть поверхности S в область , расположенную со сдвигом (e,f) и поворотом, заданным матрицей

.

При этом, если интерпретировать значение S как яркость соответствующих точек, то она уменьшится в p раз (преобразование обязано быть сжимающим) и изменится на сдвиг q.

Определение. Конечная совокупность W сжимающих трехмерных аффинных преобразований , определенных на областях , таких, что и называется системой итерируемых функций (IFS).

Системе итерируемых функций однозначно сопоставляется неподвижная точка — изображение. Таким образом, процесс компрессии заключается в поиске коэффициентов системы, а процесс декомпрессии — в проведении итераций системы для получения неподвижной точки. Области в дальнейшем будут именоваться ранговыми, а области доменными.

Построение алгоритма

Как уже стало очевидным из изложенного выше, основной задачей при компрессии фрактальным алгоритмом является нахождение соответствующих аффинных преобразований. В самом общем случае мы можем переводить любые по размеру и форме области изображения, однако в этом случае получается астрономическое число перебираемых вариантов разных фрагментов, которое невозможно обработать на текущий момент даже на суперкомпьютере.

В учебном варианте алгоритма, изложенном далее, сделаны следующие ограничения на области:

1) Все области являются квадратами со сторонами параллельными сторонам изображения. Это ограничение достаточно жесткое. Фактически мы собираемся приближать все многообразие геометрических фигур лишь квадратами.

2) При переводе ранговой области в доменную уменьшение размеров производится ровно в два раза. Это существенно упрощает как компрессор, так и декомпрессор, т.к. задача масштабирования небольших областей является нетривиальной.

3) Все доменные блоки — квадраты и имеют фиксированный размер. Изображение равномерной сеткой разбивается на набор доменных блоков.

4) Ранговые области берутся “через точку” и по Х и по Y, что сразу уменьшает перебор в 4 раза.

5) При переводе ранговой области в доменную поворот куба возможен только на 00, 900, 1800 или 2700. Также допускается зеркальное отражение. Общее число возможных преобразований (считая пустое) — 8.

6) Масштабирование (сжатие) по вертикали (яркости) осуществляется в фиксированное число раз — в 0,75.

Эти ограничения позволяют:

1) Построить алгоритм, для которого требуется сравнительно малое число операций даже на достаточно больших изображениях.

2) Очень компактно представить данные для записи в файл. Нам требуется на каждое аффинное преобразование в IFS:

· два числа для того, чтобы задать смещение рангового блока. Если мы ограничим входные изображения размером 512х512, то достаточно будет по 8 бит на каждое число.

· три бита, для того, чтобы задать преобразование симметрии при переводе рангового блока в доменный.

· 7-9 бит, для того, чтобы задать сдвиг по яркости при переводе.

Информацию о размере блоков можно хранить в заголовке файла. Таким образом мы затратили менее 4 байт на одно аффинное преобразование. В зависимости от того, каков размер блока, можно высчитать, сколько блоков будет в изображении. Таким образом, мы можем получить оценку степени компрессии.

Например, для файла в градациях серого 256 цветов 512х512 пикселов при размере блока 8 пикселов аффинных преобразований будет 4096 (512/8×512/8). На каждое потребуется 3.5 байта. Следовательно, если исходный файл занимал 262144 (512×512) байт (без учета заголовка), то файл с коэффициентами будет занимать 14336 байт. Коэффициент архивации — 18 раз. При этом мы не учитываем, что файл с коэффициентами тоже может обладать избыточностью и архивироваться методом архивации без потерь, например LZW.

Отрицательные стороны предложенных ограничений:

1) Поскольку все области являются квадратами невозможно воспользоваться подобием объектов, по форме далеких от квадратов (которые встречаются в реальных изображениях достаточно часто.)

2) Аналогично мы не сможем воспользоваться подобием объектов в изображении, коэффициент подобия между которыми сильно отличается от 2.

3) Алгоритм не сможет воспользоваться подобием объектов в изображении, угол между которыми не кратен 900.

Такова плата за скорость компрессиии за простоту упаковки коэффициентов в файл.

Сам алгоритм упаковки сводится к перебору всех доменных блоков и подбору для каждого соответствующего ему рангового блока. Ниже приводится схема этого алгоритма.

for (all domain blocks) {

min_distance = MaximumDistance;

Dij= image->CopyBlock(i,j);

for (all range blocks) { // С поворотами и отр.

current=Координаты текущего преобразования;

R=image->CopyBlock(current);

current_distance = Dij.L2distance(R);

if(current_distance < min_distance) {

// Если коэффициенты best хуже:

min_distance = current_distance;

best = current;

}

Save_Coefficients_to_file(best);

} //Next range

} //Next domain

Как видно из приведенного алгоритма, для каждого доменного блока делаем его проверку со всеми возможными ранговыми блоками (в том числе с прошедшими преобразование симметрии), находим вариант с наименьшей мерой L2 (наименьшим среднеквадратичным отклонением) и сохраняем коэффициенты этого преобразования в файл. Коэффициенты — это (1) координаты найденного блока, (2) число от 0 до 7, характеризующее преобразование симметрии (поворот, отражение блока), и (3) сдвиг по яркости для этой пары блоков. Сдвиг по яркости вычисляется как:

,

где rij — значения пикселов рангового блока (R), а dij — значения пикселов доменного блока (D). При этом мера считается как:

.

Мы не вычисляем квадратного корня из L2 меры и не делим ее на n поскольку данные преобразования монотонны и не помешают нам найти экстремум, однако мы сможем выполнять на две операции меньше для каждого блока.

Посчитаем количество операций, необходимых нам для сжатия изображения в градациях серого 256 цветов 512х512 пикселов при размере блока 8 пикселов:

Часть программы Число операций
for (all range blocks) 4096 (=512/8×512/8)
for (all range blocks) + symmetry transformation 492032 (=(512/2-8)* (512/2-8)*8)  
Вычисление q и d(R,D) > 3*64 операций “+” > 2*64 операций “×”
Итог: > 3* 128983236608 операций “+” > 2* 128983236608 операций “×”

Таким образом нам удалось уменьшить число операций алгоритма компрессии до вполне вычисляемых (пусть и за несколько часов) величин.




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.