Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Понятие определённого интеграла



Определённый интеграл

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f(x). Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, … ,xn – xn-1 = Dxnдлины частных отрезков.

На каждом из полученных частных отрезков [xi-1, xi], i = 1, 2,…, n выберем произвольную точку и найдем значение функции в этой точке, т.е. f(сi ) (см. рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Составим выражение Sn , которое называется интегральной суммой для функции y = f(x) на отрезке [a, b].

Sn = f(c1)Dx1 + f(c2)Dx2 + … + f(cn)Dxn = .

Обозначим λ длину наибольшего частичного отрезка: (i = 1, 2,…, n). Найдём предел интегральной суммы, когда так, что .

Если при любых разбиениях отрезка [a, b] на частичные таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек сi интегральная сумма стремится к пределу I , то это число называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a, b] и обозначается

Таким образом, = . (7.1)

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, хпеременной интегрирования, [a, b] – отрезком интегрирования, f(x)- подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением.

Функция у = f(x), для которой на отрезке [a, b] существует определённый интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.

Из рисунка 7.1. видно, что сумма произведений Sn = равна площади ступенчатой фигуры и приближённо равна площади S криволинейной трапеции:

SSn = .

С уменьшением всех величин Dxi криволинейной трапеции ступенчатой фигурой увеличивается. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел S , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn , когда n неограниченно возрастает так, что :

= , то есть S = .

Таков геометрический смысл определённого интеграла.

 

Теорема (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Существуют и иные теоремы математического анализа, определяющие классы функций, интегрируемых на отрезке [a, b]. В частности таковыми являются:

· непрерывные на отрезке [a, b] функции;

· ограниченные на отрезке [a, b] функции, имеющие конечное число точек разрыва;

· монотонные на отрезке [a, b] функции.

Основные свойства определённого интеграла

Рассмотрим основные свойства определённого интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [a, b]

1) (С – const) , т.е. постоянный множитель С можно выносить за знак определённого интеграла.

2) , т.е. интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.

3) .

4) .

5) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

, т.е. интеграл по всему отрезку равен

сумме интегралов по частям этого отрезка.

6) Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a, b], где a < b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так если на отрезке [a, b] , то .

7) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] (a < b), то , т.е. неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a, b] (a < b) можно интегрировать.

8) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b] (a < b), то:

9) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка такая, что

.

Доказательство: В соответствии со свойством 8:

или . Обозначим .

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число сÎ [a, b], что m = f(с), т.е. или . Теорема доказана.

10) Производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом

Доказательство: пусть функция у = f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Вводится обозначение , здесь . Рассмотрим три точки отрезка [a, b]: а , х, х + Δх ( ) и определим разность . По свойству 5 определённых интегралов первый интеграл правой части можно представить в виде

суммы . В результате

.

По теореме о среднем (свойство 9) , .

Далее вычислим производную функции

.




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.