Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Энергетические соотношения в колебательных процессах



 

Для груза, совершающего гармонические колебания, значение кинетической энергии mv2/2 находится прямой подстановкой в величину кинетической энергии выражения для скорости колебательного движения, определяемой выражением

( 8-5):

Екин = . ( 8-13 )

Максимальное значение этой энергии, очевидно, равно

( 8-14 ) и достигается в момент, когда тело проходит положение равновесия. Пройдя это положение тело продолжает двигаться по инерции и вызывает деформацию пружины. При этом кинетическая энергия движущегося тела переходит в потенциальную энергию деформированной пружины Епот ( см. (6-10))12 :

Епот = . ( 8-15 )

Максимальное значение этого вида механической энергии равно:

. ( 8-16 )

При незатухающих колебаниях , поэтому имеет место сохранение механической энергии: . В этом случае суммарная энергия сохраняет свою величину в любой момент времени ( выражения ( 8-13 ) и ( 8-15 )):

, ( 8-17)

где учтено, что sin2 a + cos2 a = 1 и .

Если колебания являются затухающими, за каждый период колебаний суммарная энергия колеблющегося тела уменьшается на величину работы против сил

трения. В этом случае колеблющееся тело или любая система, в которой происходят колебания, характеризуется так называемым качеством или добротностью системы Q, которая определяется как способность системы к превращениям одного вида механической энергии в другой (т.е. кинетической в потенциальную или наоборот). Количественно добротность определяется ( с точностью до коэффициента 2p) как отношение максимальной энергии упругой деформации (или максимальной кинетической энергии колеблющейся системы) к средней величине

потерь энергии в системе за период. Известно, что среднее значение любой переменной величины < у > за период определяется соотношением :

< у > = .

Мгновенное значение силы вязкого трения Fтрен= b bw0A cos(w0t +j), тогда среднее значение работы < Атрен > за единицу времени против этой силы равно:

< Атрен > = 13 .

Выразим cos2(w0t + j) через функцию двойного угла: cos2 a = (1+cos2a) и подставим его в выражение для < Атрен > :

< Атрен > = = , ( 8-18)

 

поскольку значение второго интеграла в ( 8-18) равно нулю (среднее значение за период любой гармонической функции равно 0, т.к. эта функция половину периода положительна, а половину - отрицательна).

Очевидно, что за весь период Т на преодоление силы трения будет затрачена энергия Wпотер = < Атрен > Т, и добротность колебательной системы может быть определена как:

, ( 8-19)

где . Из выражения ( 8-19) видно, что добротность системы определяется ее упругими, инерционными и диссипативными14 свойствами. Можно сказать также, что добротность - это число, показывающее за сколько периодов колебаний вся энергия, запасенная в системе, будет превращена в работу против сил трения, т.е. в тепло.

Как правило, добротность механических систем довольно высока. Здесь уместно вспомнить о звучании музыкальных инструментов: отдельная нота может звучать несколько секунд, хотя частота колебаний составляет несколько килогерц.

Колебания груза на пружине также могут продолжаться довольно долго, однако в последнем случае существенно заметить, все рассмотренные случаи колебаний касались движения, где изменялась одна координата, в то время как известно, что
для полного описания движения точки необходимо задать три координаты. Все эти координаты считаются равноправными, поэтому, если по каким-то причинам в системе возникают колебания в двух или трех направлениях, то первоначально запасенная энергия станет равномерно распределяться между всеми направлениями колебаний; другими словами, если груз будет совершать не строго вертикальные колебания вдоль одной прямой, то его колебания затухнут быстрее.

 




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.