Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Через координаты сомножителей. Матрица Грама



Пусть в евклидовом n-мерном пространстве задан некоторый базис . Разложим векторы по базису :

где координатные вектор-столбцы векторов в базисе ( ).

Выразим скалярное произведение векторов через координаты сомножителей:

где обозначено . Последнее равенство можно переписать в матричной форме

, (3.5)

где матрица

(3.6)

Определение 3.4.Матрица (3.6) порядка называется матрицей Грама системы векторов базиса .

Замечание 3.3. Матрица Грама может быть построена, вообще говоря, для любой произвольной системы векторов евклидова пространства. В этом случае мы получаем матрицу -го порядка:

(3.7)

Сформулируем простейшие свойства матрицы Грама.

Теорема 3.3. Матрица Грама является симметрической ( ).

□ Справедливость утверждения вытекает из аксиомы евклидова пространства: . ■

Теорема 3.4 (критерий Грама линейной зависимости системы векторов). Система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда определитель матрицы Грама этой системы равен нулю.

□ Необходимость. Пусть система векторов является линейно зависимой. Тогда существуют числа , среди которых существует по крайней мере одно ненулевое такие, что

.

Умножая последовательно последнее равенство скалярно на векторы , получим однородную систему, состоящую из уравнений:

.

Определителем этой системы является определитель матрицы Грама системы векторов . Так как эта система имеет ненулевое решение

,

то определитель матрицы Грама этой системы равен нулю.

Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке. ■

Теорема 3.5 (изменение матрицы Грама при переходе к другому базису). Пусть в евклидовом пространстве заданы базисы

, .

Связь между матрицами Грама и для этих базисов описывается равенством

, (3.8)

где матрица перехода от базиса к базису .

Доказательство теоремы построено на использовании равенства (3.5) и формул преобразования координат при переходе от базиса к базису.


Пример 3.1. В линейном пространстве со скалярным произведением заданы базисы и :

.

Записать матрицы Грама и для базисов и , проверить выполнимость равенства (3.8).

Решение.Составим матрицы Грама и для базисов и . Вычислим элементы

, ( )

этих матриц. Имеем

В результате получим матрицы

,

.

Нетрудно убедиться в справедливости равенства (3.8), которое в нашем случае имеет вид , где

, ,

.

 





©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.