Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Математическая модель процесса разорения



ПРОЦЕССЫ РАЗОРЕНИЯ В СТРАХОВОМ ДЕЛЕ

 

Математическая теория процессов разорения, возникающих в страховом деле, ведет начало с 1903 г. с работ Лундберга [21, 22]. Дальнейшие исследования в этой области проводились между 1926 и 1955 г. Лундбергом [23—25], Крамером [9—14], Эстером [17], Сегердалом [31—34], Тэклиндом [36], Саксеном [29, 30], Амметером [1], Арфведсоном [2 — 6] и др.

Предположим, что компания производит обычные страховые операции (страхование жизни, нетрудоспособности, несчастного случая, болезни, аварии, пожара, страхование обязательств и т. д). Держатели полисов регулярно выплачивают страховые премии. Компания собирает премии в резервный фонд и, если происходит страховой случай, выплачивает договорную сумму. Страховую компанию можно рассматривать как регулировочный аппарат для держателей полисов, индивидуальные риски определяются ком­панией в виде цены страховой премии. Размеры страховых пре­мий назначаются таким образом, чтобы в течение длительного периода они покрывали в среднем выплаты компании на страхо­вые случаи. Страховая премия, исчисляемая этим способом, на­зывается чистой страховой премией. В дополнение к чистой стра­ховой премии держатели полисов выплачивают ценную страховую премию для покрытия нежелательных отклонений от среднего. Сумма чистой и ценной страховых премий составляет общую страховую премию. Это пример страхования лишь с положитель­ными премиями и положительными страховыми суммами.

Существуют другие виды страхования, противоположные опи­санному. Типичный случай — операции с пожизненной рентой. Здесь компания постоянно выплачивает ренту держателям поли­сов, в то время как случайная смерть одного из держателей полисов представляет соответствующую сумму в распоряжение компании, играя таким образом роль выплаты держателя полиса компании, или выплаты компании держателю полиса отрицатель­ной суммы. Рента также может рассматриваться как отрицатель­ная страховая премия. Это пример страхования лишь с отрица­тельными страховыми премиями и отрицательными страховыми суммами.

Случаи только положительных страховых сумм (отсутствие ренты) и только отрицательных страховых сумм (чистые операции с рентой) являются важными частными случаями. Однако, вообще говоря, компания может вести страховые дела обоих типов.

Суммы, выплачиваемые компанией при установлении страхового случая, могут тогда быть как положительными, так и отрица­тельными. Аналогично страховые премии, взимаемые компанией, могут быть как положительными, так и отрицательными (выплата по ренте).

Теория разорения изучает вероятностные законы, которым подчиняются случайные флуктуации резервного фонда. Знание этих законов важно для того, чтобы быть в состоянии вовремя принять меры предосторожности.

Математическая модель процесса разорения

Пусть в интервале времени (0, оо) страховые случаи происхо­дят согласно процессу Пуассона с интенсивностью À (т), 0^т<оо. Страховые суммы, выплачиваемые компанией, которые могут быть как положительными, так и отрицательными, являются взаимно независимыми одинаково распределенными случайными величи­нами с функцией распределения Н(х), и они не зависят от мо­ментов наступления страховых случаев.

Вместо того чтобы рассматривать процесс наступления страхо­вых случаев в обычном времени, удобно ввести новую временную переменную (оперативное время, преобразованное время) и = и (т):

« = -£ j K(o)dv, (l)

о

где Я — положительная константа. Если тогда обозначить че­рез % (и) общую страховую сумму, выплаченную в интервале (0, и], то (я (и), 0<1и<оо} будет стохастическим процессом со стацио­нарными независимыми приращениями и функцией распределения

CD

РШ<х} = %е-ь»-У^р-Нп(х), (2)

где Нп(х) есть n-я свертка функции Н(х); Н0(х)=Л при ^0и Я0 (х) = 0 при х < 0. Процесс fie (и), 0 =SC и < оо} — это обобщенный пуассоновский процесс. Если интеграл

CD

й= jxdH(x) (3)

—со

существует, то общая средняя страховая сумма, выплачиваемая компанией в интервале (0, и], равна

 

Е & (и)} = Каи.

(4)

В условиях частного бизнеса накопленная чистая страховая премия (премии за вычетом выплачиваемой ренты) в интервале (0, и] равна Каи. Если применяются также ценные страховые премии, to общая страховая премия равна {Ка + Ь)и, где Ь>0 при а>0 (например, в случае положительных страховых премий) и КО При а<0 (например, в случае отрицательных страховых премий). Предположим, что в момент и = 0 компания располагает началь­ным капиталом х для покрытия потерь из-за случайных флуктуа­ции. Тогда резервный фонд в момент и равен

у(и) = х + си~х{и) (5)

для 0 <! и < оо, где у (0) = х — начальный резервный фонд в момент и = 0, а с — константа.

Одна из основных задач в теории разорения состоит в опре­делении вероятности разорения, т. е. вероятности того, что резерв­ный фонд когда-нибудь станет отрицательным, или, более точно, вероятности того, что разорение произойдет до момента t.

Обозначим через Qx момент времени, когда впервые резервный фонд становится отрицательным в интервале (0, с»), т. е.

0^ = inf{«: y(")<0 для 0<ы<оо} (6)

и 0^ = 00 при y(«)>0 для ы^О.

Тогда вероятность того, что разорение произойдет в интервале (О, /], равна

P{6x<fl=l-P{ sup [х(«)-си]<*}, (7)

а вероятность того, что разорение когда-нибудь произойдет, равна
Р{6^<°°}=1-Р{ sup Ц(и)-си]'<х}. (8)

Если вероятности Р {6_,<<»} и P{0^^/} известны, то можно принять меры предосторожности (увеличение премии, перестрахо­вание и т. д.), позволяющие уменьшить вероятность разорения настолько, чтобы оно было практически невозможно. Обозначим

W(t,x)-P{ sup fö(«)-«*]<*} (9)

0<u«И

Г(л:) = Р{ sup [х(и)-си]<*}. (10)

0<и<оо

Большинство исследований посвящено нахождению функций рас­пределения W(x), W(t, x) и их асимптотик при больших зна­чениях X.




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.