Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Схемы конструкций и исходные данные



Определить: угол нутации q, угловую скорость нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость , угловое ускорение твердого тела; скорости и ускорения точек А, В, С подвижного конуса 1, катящегося без скольжения по неподвижному конусу 2 (рис. 4.1).

Задача сформулирована отдельно для каждого варианта, чертежи к задачам помещены на рис.4.1 (по последней цифре шифра (ПЦШ) выбирается номер схемы от 0 до 9), необходимые числовые данные, соответствующие (предпоследней цифре шифра (ПрЦШ) приведены в табл. 4.1. Во всех вариантах задачи
(рис. 4.1) рассматривается регулярная прецессия твердого тела.

Рис. 4.1. Схемы к расчетной работе №1

Т а б л и ц а 4.1

Данные (ПрЦШ)=0 Последняя цифра шифра (ПЦШ)
h м 0,12 0,4 0,2 0,18 0,1 - 0,2 0,12 0,12 -
R - 0,8 - - - 0,3 - - - 0,18
2a град -
2b - - -
vc м /с - - - 0,2 - - - - -
a1 м/с2       0,36 - - - 0,48  
n об/мин - - - 30/p - - -
t с - - - - - - - - -
Данные (ПрЦШ)=1 Последняя цифра шифра (ПЦШ)
h м 0,12 0,4 0,16 0,15 - 0,3 0,16 0,16 -
R - 0,5 - - - 0,25 - - - 0,24
2a град -
2b - - -
vc м /с - - - 0,45 - - - - -
a1 м/с2   - - 0,32 - - - 0,72  
n об/мин - - - 60/p - - -
t с - - - - - - - - -
Данные (ПрЦШ)=2 Последняя цифра шифра (ПЦШ)
h м 0,1 0,5 0,3 0,15 0,2 - 0,4 0,2 0,2 -
R - 1,0 - - - 0,2 - - - 0,3
2a град -
2b - - -
vc м /с - - - 0,8 - - - - -
a1 м/с2   - - 0,3 - - - 0,8  
n об/мин 30/p - - - 90/p - - -
t с - - - - - - - - -

Варианты 0, 2.Прямой круговой конус с углом 2aпри вершине катится без скольжения по неподвижной плоскости, делая n оборотов в минуту вокруг вертикальной оси OYв направлении, указанном стрелкой. Высота конуса OC = h.

Вариант 1.Прямой круговой конус катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости в направлении, указанном стрелкой. Высота конуса ОC = h, радиус основания равен R. Движение конуса происходит так, что скорость центра основания постоянна и равна vC.

Варианты 3…9.Конус 1 с углом 2aпри вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2b при вершине в направлении, указанном стрелкой. Высота конуса OC = h.

Движение конуса 1 происходит так:

· вар. 3- осестремительное ускорение центра С основания конуса при его вращении вокруг вертикальной оси OY постоянно и равно а1;

· вар. 4- скорость точки Сцентра основания конуса постоянна и равна vC , ↑↑ OZ в данный момент времени;

· вар. 5- подвижный конус 1 обегает неподвижный конус 2, совершая nоборотов в минуту, радиус основания конуса 1 равен R;

· вар. 6-подвижный конус 1 совершает за время t один оборот вокруг вертикальной оси против часовой стрелки;

· вар. 7-вращательное ускорение центра С основания конуса ;

· вар. 8- ускорение точки Мконуса 1, лежащей на середине его образующей, равно , причем ;

· вар. 9подвижный конус 1 совершает n оборотов в минуту вокруг своей оси симметрии Оy.

 

Указания и план выполнения

 

Случай регулярной прецессииэто такое вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, при котором (рис. 4.2) во все время движения остаются постоянными:

· угол нутации , ;

· угловые скорости прецессии, ротации и мгновенная угловая скорость ( );

;

· угловое ускорение .

1. Найти неподвижную точку вращающегося тела, выбираемую за начало отсчета
неподвижной и связанной
координатных систем. Выбрать оси прецессии ,
ротации , нутации ( ­­ или ¯­ ).

2. Определить угловые скорости нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость и мгновенную ось вращения .

В зависимости от задания движения твердого тела вектор можно определять двумя способами:

1) по ее составляющим ;

2) использовать мгновенную ось вращения , которую в дальнейшем будем для краткости обозначать . По известной скорости какой-либо точки Мтвердого тела и положению оси находят величину : , где – перпендикуляр, опущенный из точки Мна ось .

3. Определить угловое ускорение твердого тела. В случае регулярной прецессии и является закрепленным в точке О вектором, положительное направление которого определяется как результат векторного произведения.

4. Определить скорости произвольных точек твердого тела по формуле Эйлера , величина которой .

5. Определить ускорения произвольных точек твердого тела по формуле , где - вектор осестремительного ускорения, величина которого ; - вектор вращательного ускорения, величина которого .

Так как всегда направлено от точки по к оси , можно не пользоваться векторной формой для . Что же касается , то его следует находить только по векторной форме.

Поскольку при вращении около полюса вектор неколлинеарен , то и , вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами, поэтому определение должно производиться после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет равна

.

Для точек, лежащих на оси ротации твердого тела, справедливы также следующие зависимости:

и ,

где – нормальное ускорение; – касательное ускорение, при регулярной прецессии =0.

Все векторы, лежащие в плоскости OXY(плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление же других векторов должно быть указано в тексте.

 

Пример 1.Дано. Конус 1 с углом 2a = 60° при вершине
(рис. 4.3) катится по неподвижному конусу 2 с углом 2b=120° при вершине без скольжения, приэтом вершина О конуса 1 остается неподвижной, а центр С его основания движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, с постоянной

скоростью , причем , =3 м/с, ОА=ОВ=.

Определить.1. Угол нутации q, угловую скорость нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость . 2. Угловое ускорение конуса . 3. Скорости точек А и В , . 4. Ускорения точек А, В, С (найти осестремительное и вращательное ускорения точки С).

Рис. 4.3

 

Решение.Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса 1 совпадает с образующей ОА.

1. Угол нутации , поскольку с конца оси нутации ОЕ поворот от оси прецессии OY к оси ротации Oy кажется против часовой стрелки; .

2. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны,окружность, плоскость которой перпендикулярна оси прецессии ОY и центр которой лежит на этой оси.

Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку

, (4.1)

где кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси ; , то

. (4.2)

Учитывая заданное направление вектора , , отложим от точки О вдоль мгновенной оси = ОА вектор так, чтобы видеть с его конца вращение конуса вокруг этой оси в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки (рис. 4.3).

С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то

, (4.3)

где кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY,равное .

Отсюда находим величину угловой скорости прецессии :

. (4.4)

Направление вектора определим в зависимости от задания движения конуса 1, в данном случае вращение конуса 1 вокруг оси прецессии происходит по часовой стрелке, поэтому ¯­ (оси прецессии).

3. Векторное равенство , в котором линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величину угловой скорости ротации, а именно: ; линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действия вектора ¯­ - ось прецессии OY, линией действия вектора - ось ротации Оy (рис. 4.3). Таким образом, величина угловой скорости ротации

. (4.5)

4. Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор ¯­ , так какс конца оси OZ поворот от вектора к вектору кажется по ходу часовой стрелки; величина углового ускорения

рад/с2 . (4.6)

5. Скорости точек конуса 1:

· точки А , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1;

· точки В , где , и вектор ¯­ .

6. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.

Для точки А: ; ; ;

; ,
где ; м.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону .

Таким образом, ; .

Для точки В: ; ; .

Вектор направлен от точки B к мгновенной оси вращения конуса 1 (рис. 4 3). Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону . Величины этих векторов: ; , где м.

Полное ускорение точки B найдем как диагональ прямоугольника, построенного на векторах :

Для точки С:

а) ; ; ;

; .

Вектор направлен от точки С к мгновенной оси вращения кoнуса 1.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОС в сторону (рис. 4.3);

б) ;

Ответ. 1. Угол нутации q = p/2; угловая скорость нутации ; прецессии 1/с; ротации 1/с; мгновенная угловая скорость 1/с. 2. Угловое ускорение конуса 1/с2 . 3. Скорости точек А и В м/с.
4. Ускорения точек А, В, С м/c2; осестремительное ускорение точки С м/с2; вращательное ускорение точки С м/с2.

Пример 2.Дано. Конус 1 с углом 2a при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2b при вершине в направлении, указанном стрелкой (рис. 4.4). Высота конуса OC = h. Вращательное ускорение центра С основания конуса =0,48 м/с2, h=0,12 м, 2α = 120°, 2β = 60°.

Определить. 1. Угол нутации q, угловую скорость нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость . 2. Угловое ускорение конуса . 3. Скорости точек А, В, С . 4. Ускорения точек А, В, С .

Решение. Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения кону са 1 совпадает с образующей ОА.

 

1. Угол нутации: , так как с конца оси нутации ОZ=OE поворот от оси прецессии OY к оси ро-тации Оy кажется про-
тив часовой стрелки, .

2. Направление вектора определяется в зависимости от задания движения конуса 1 вокруг оси прецессии OY, в данном случае – против часовой стрелки, поэтому ↑↑ .

3. Векторное равенство , в котором линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величины угловых скоростей прецессии и ротации через мгновенную угловую скорость вращения . Так как линия действия вектора – ось прецессии OY,причем ↑↑ ,линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действиявектора – ось ротации Оy, то из векторного равенства следует, что ↑↑ , а ↑↑ , а величины угловых скоростей прецессии и ротации равны 1/с = const, 1/с = const.

4.Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор ­­ , так какс конца оси OZ поворот вектора к вектору кажется против хода часовой стрелки; величина углового ускорения 1/с2 .

С другой стороны, по заданному , где , находим величину углового ускорения . Направление вектора указано в условии. Вектор лежит в плоскости (ВОА), перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОС в сторону .

Таким образом, используя полученные равенства , , , находим величины 1/с, 1/с, 1/с.

5. Скорости точек конуса 1:

· точки А: , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1;

· точки В: , где (см. рис. 4.4), и вектор ­­ ;

· точки С. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, окружность, плоскость которой перпендикулярна оси прецессии ОY и центр которой лежит на этой оси. Поэтому скорость точки С конуса 1 можно определить по двум формулам:

1) , где – кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси вращения , ; , ­­ .

С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то

2) , где – кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY , ; = .

6. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.

Для точки А:

а) ; ; ;

так как ;

;

.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону . Таким образом, м/с2.

Для точки В: ; ; .

Вектор направлен от точки B по к мгновенной оси вращения конуса 1. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону .

.

Полное ускорение точки B найдем через его проекции на оси дополнительной системы координат , лежащей в плоскости (BOA), как

 

:

м/с2;

м/с2.

 

Для точки С:

1) ; ; ;

м/с2;

.

Вектор направлен от точки С по к мгновенной оси вращения конуса. Направление вектора указано в условии. Вектор направлен перпендикулярно ОС в сторону ;

 

2) ;

Причем, величину вектора можно получить как = =0,48∙3=1,44 м/с2.

Ответ. 1. Угол нутации q = p/2; угловая скорость нутации ; угловые скорости прецессии 1/с; ротации рад/с; мгновенная угловая скорость = 4 рад/с.

2. Угловое ускорение конуса рад/с2.

3. Скорости точек А, В, С: =0; ; м/с.

4. Ускорения точек А, В, С: = 0,96 м/с2; = 4,4 м/с2;

= 1,44 м/с2.

5. Осестремительное ускорение точки С = 0,96 м/с2 .

6. Вращательное ускорение точки С (задано)
= 0,48 м/с2 .

 

 

Расчетная работа № 2




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.

Президентские телки VIP эскорт