Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Виртуальная работа силы. Идеальные связи



Виртуальной называется работа силы на любом виртуальном перемещении точки ее приложения:

dА( ) = .

Для вычисления виртуальной работы можно применять известные формулы для элементарной работы силы, подставляя вместо элементарного возможного виртуальное перемещение точки.

При использовании декартовых координат

dА( ) =Fx dx + Fy dy + Fz dz.

Например,виртуальная работа горизонтальной силы , приложенной к стержню АВ (рис. 2.7) в точке С,равна dА( )=Fxdxс. Так как Fx = - F, xс = BC cosjи dxс = - BC sinj ·dj,то
dА( ) = F BC sinj·dj .

Если к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси l = Oz,приложена сила , момент которой относительно этой оси Мl=Oz, то

dА( ) =Мl=Oz dj,

где dj - виртуальное угловое перемещение тела вокруг оси l =Oz .

dА( ) = Ft ds,

где Ft – проекция силы на направление касательной, ds – вариация траекторной координаты точки приложения силы при траекторном способе задания ее движения.

dА ( ) = Fv dS,

где Fv – проекция силы на направление скорости точки приложения силы, dS – вариация перемещения точки приложения силы.

Виртуальная работа потенциальных сил равна вариации силового потенциала dА = dU или вариации со знаком минус потенциальной энергии системы dА = - dП.

Установив понятие виртуальной работы силы, можно расширить классификацию связей, разделяя их на идеальные и неидеальные.

Связи называются идеальными , если равна нулю сумма виртуальных работ реакций этих связей на любом виртуальном перемещении системы ( из занимаемого в данный момент времени положения).

Для идеальных связей

или .

Полагая связи идеальными, можно решить задачу динамики несвободной системы, которая состоит в том, что для данной системы с заданными активными силами и начальными условиями нужно найти уравнения движения и реакции связей. Например,если материальная точка движется по гладкой поверхности, уравнение которой f (x, y, z)= 0, то нормальная реакция ,гдеl неопределенный множитель Лагранжа.

Уравнения связи совместно с дифференциальными уравнениями движения точки образуют замкнутую систему уравнений, позволяющую определить как уравнения движения точки, так и множитель Лагранжа, а значит, и нормальную реакцию связи

.

Примеры идеальных связей:

1. Гладкая поверхность (плоскость)для материальной точки. В этом случае dА ( )= × = | | × | |cos ( ) = 0, так как вектор расположен вдоль нормали к поверхности и, следовательно, ортогонален вектору виртуального перемещения точки.

2. Нерастяжимая нить. Реакция нити – сила ее натяжения ортогональна виртуальному перемещению точки ее приложения, поэтому dА ( )= × = 0.

3. Цилиндрические и сферические шарниры, если поверхности соприкасающихся тел считаются идеально гладкими. Если твердое тело при помощи шарнира прикреплено к неподвиж-
ной опоре (рис. 2.8), то реакция приложена к неподвижной точке. Поэтому ее виртуальное перемещение равно нулю и ( )= × = 0 и др.

4. Твердая шероховатая поверхность для цилиндрического катка при качении без скольжения. Контакт катка с поверхностью происходит по линии. Поэтому реакцией связи является система сил, распределенных вдоль линии контакта. Виртуальная работа сил реакции равна нулю, так как они приложены к неподвижным в каждый момент времени точкам СМЦС сечений катка (см. рис. 2.1).

Обобщенные силы

В аналитической механике, наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе. Для определения обобщенной силы рассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы,

. (2.12)

Если механическая система при наложенных на нее голономных удерживающих h связях имеет s =3n - h степеней свободы, то ее положение определяется обобщенными координатами (i = s) и (2.11), а виртуальное перемещение k-й точки

; .

Подставляя в формулу для виртуальной работы сил (2.12), получаем

. (2.13)

Скалярную величину

(2.14)

называют обобщенной силой, соответствующей i-й обобщенной координате.

Подставляя (2.14) в (2.13), получаем формулу для виртуальной работы

. (2.15)

Обобщенной силой, соответствующей i-й обобщенной координате, называется множитель при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.

Виртуальная работа определяется от задаваемых активных сил, независящих от ограничений, и реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость Tj от Nj (Tj – это, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).

В общем случае обобщенная силаявляется функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из формулировки следует, что обобщенная сила – скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы.

Пример 2.10. Для диска радиусом r и массой m, который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис. 2.9), за обобщенную координату можно принять: либо q = s - перемещение центра масс диска, либо q = j - угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то в первом случае обобщенной силой будет Qs = mg sina, а во втором - Qj = mg r sina.

Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из (2.15) следует, что единица измерения обобщенной силыравна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты. Если в качестве обобщенной координаты q принять q = s – перемещение какой-либо точки, то единица измерения обобщенной силы
Qs
– ньютон. Если же в качестве q = j будет принят угол поворота тела (в радианах), то единицей измерения обобщенной силы Qj будет ньютон´метр.

Существуют различные способы вычисления обобщенных сил.

1. Согласно (2.14) , обобщенная сила

= .

Принимая во внимание, что , получаем

. (2.16)

Этот способ определения обобщенных сил называют аналитическим.

Пример 2.11.Найти обобщенную силу Qq=j , если в кривошипно-ползунном механизме (рис. 2.10) OA=AB= l, – вертикальная, а – горизонтальная силы.

Решение. Так как F1x= F2y=0, то обобщенная сила согласно (2.16)

.

Проекции сил и координаты точек их приложения определяются как F1y=- F1; F2x=- F2; yA = l sinj ; xB = 2l cosj. Следовательно, Qq=j= - F1l cosj + 2F2l sinj.

 

 

 

Рис. 2.10

 

 

2. Укажем на более простой способ вычисления обобщенной силы. Обобщенные силы для механических систем с числом степеней свободы s=k > 1целесообразно вычислять последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит, и их вариации тоже не зависят друг от друга. Системе всегда можно сообщить такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не варьируются. В этом случае из (2.15) получаем

. (2.17)

Индекс qi в (2.17) означает, что виртуальная работа сил, действующих на систему, определяется на перемещениях точек приложения этих сил, соответствующих вариации только одной i-йобобщенной координаты.

Пример 2.12. Найти обобщенные силы и для системы (рис. 2.11). Масса груза 1 равна m1, массацилиндра 2 равна m2, а его радиус r.Нить по блоку 3 и цилиндру 2 не скользит. Центр масс цилиндра 2 движется вдоль вертикали.

Решение. Для определе-ния обобщенной силы зададим приращение ds ¹ 0координате груза 1, а для угла jповорота цилиндра 2, будем считать j =const,т.е. dj =0. При этом центр масс цилиндра 2 будет иметь перемещение, равное перемещению груза. Следовательно,

 

 

,

где P1 =m1 g; P2 =m2 g .

Определяя , будем полагать, что ds=0,аdj ¹ 0.Тогда

.

3. Если силы, действующие на механическую систему, потенциальные, то для определения обобщенных силможно использовать силовую функцию U или потенциальную энергию П системы.

Потенциальная сила

Подставляя проекции силы в (2.17) , получаем

Так какU= -П ,то

(2.18)

Пример 2.13.В системе, показанной на рис. 2.12 , массы груза 1 и цилиндра 2 равны m1и m2соответственно, радиус цилиндра r, а коэффициент жесткости пружины с1 .

 

Рис. 2.12

 

Полагая, что трение между грузом и наклонной плоскостью отсутствует, а траектория точки С – центра масс цилиндра вертикаль, найти обобщенные силы и , если при s =0пружина не деформирована.

Решение.Потенциальная энергия системы

.

Обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам:




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.

Президентские телки VIP эскорт