Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»



Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел, и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-ой замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёт только об определённости и никакой другой.

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы, которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-ой замечательный предел.

Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры:

Пример 18

Вычислить предел

На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость

Используем формулу

Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель удобнее вычислить отдельно:

В данном случае:

Таким образом:

С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0.

В результате:

Готово.

Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью :

Пример 19

Вычислить предел

Сначала полное решение, потом комменты:

(1)-(2) На первых двух шагах используем формулы . У сложных производных мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать».

(3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма.

(4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы, преобразуем неопределённость к виду .

(6) Используем формулу .

(7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: . Минус перед дробью вносим в знаменатель:

(8) Без комментариев =)

Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл.

Пример 20

Вычислить предел

Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде и заменой свести решение к случаю .

В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки».

Вернёмся к неопределённости . Данную неопределённость далеко не всегда можно свести к неопределённости и воспользоваться 2-ым замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если числитель и знаменатель основания степени – эквивалентные бесконечно большие функции. На пример: .

Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания:

В пределе получена единица, значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны. На уроке Замечательные пределы. Примеры решений мы без проблем свели данный пример к неопределённости и получили ответ.

Аналогичных пределов можно придумать очень много:
и т.д.

Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: . В других случаях при неопределённости 2-ой замечательный предел не применим.

Пример 21

Найти пределы

Как ни старайся, а неопределённость не удастся преобразовать в неопределённость

Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты: .

Таким образом, 2-ой замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ.

! Примечание: не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость , здесь же речь идёт о неопределённости .

Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменательоснования разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель):

Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же:

Пример 22

Найти пределы

Это короткие примеры для самостоятельного изучения

Иногда неопределённости может не быть вообще:

Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела!

Решения и ответы:

Пример 2

Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3.
Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 4

Разделим числитель и знаменатель на :

Примечание: самым последним действием умножили числитель и знаменатель на , чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Пример 6

Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 8

Разделим числитель и знаменатель на :

Примечание: слагаемое стремиться к нулю медленнее, чем , поэтому является «главным» нулём знаменателя.

Пример 10

Пример 12

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Пример 13

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 15

Проведём замену:
Если , то .

Пример 17

Проведём замену:
Если , то .
Далее используем формулу приведения , тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:

Пример 20

Используем формулу

Пример 22

Примечание: бесконечно малая функция стремится к нулю медленнее, чем , поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую роль:

 

Сложные пределы

 

Пример 1

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

При подстановке «единицы» в выражение под знаком предела, получается неопределённость , которая устраняется стандартным методом: числитель и знаменатель необходимо разложить на множители, а затем что-нибудь сократить. Разложить на множители…. Были бы у нас многочлены второй степени – без проблем. Но как раскладывать кубические многочлены? Познакомимся с новым приёмом, который основан на одной из теорем алгебры. Сначала кратко передам теоретическую суть:

Рассмотрим многочлен положительной степени. Если число является корнем уравнения , то многочлен делится на многочлен без остатка. В результате деления получается многочлен , при этом: .

Да, многочлены, как и числа, можно делить друг на друга. Термины те же:
– делимое;
– делитель;
– частное.

Начнём оформлять решение и детально разберём техническую сторону вопроса:

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: поскольку число является корнем уравнения , то многочлен делится на многочлен без остатка. Деление выполняется столбиком. В школе столбиком мы делили числа, и принцип деления многочленов весьма похож. Записываем начальный шаблон:

Обратите внимание на очень важную вещь: в многочлене в явном виде отсутствует «икс» в первой степени. При делении ОБЯЗАТЕЛЬНО прописываем все недостающие слагаемые, прикрепляя к ним нулевые коэффициенты.

Теперь в углу нужно разоблачить незнакомца :

Каким он должен быть? Нет-нет-нет, он должен быть ТАКИМ, чтобы при его умножении на «икс» получилось :

Очевидно, что данному критерию удовлетворяет . Действительно, . Записываем первый трофей:

Далее нашего героя необходимо умножить на делитель :
, а результат записать во второй строке слева:

Проводим отчёркивание и из первой строки почленно вычитаем вторую строку:

Если подробно, (ноль под чертой не пишем),

Сносим сверху следующее слагаемое:

Алгоритм идёт на следующий круг. Снова ищем одночлен , он должен быть ТАКИМ, чтобы при его умножении на «икс» получилось :

В данном случае . Рисуем его справа под чертой:

и умножаем на делитель :
, результат записываем в 4-ую строку:

Ещё раз отчёркиваем и проводим почленное вычитание: (ноль под чертой не пишем), :

Сносим сверху последнее слагаемое:

Организуем завершающий цикл. Необходимо подобрать третье слагаемое , которое при умножении на «икс» даёт :

Уравнению соответствует корень , который записываем справа под чертой:

Умножаем на делитель :
, результат записываем в 6-ую строку:

Выполняем завершающее отчёркивание и почленное вычитание:

В итоге получился ноль, и это значит, что все вычисления выполнены правильно. Иными словами, многочлен поделился на без остатка. Таким образом:

Желающие могут раскрыть скобки в правой части и убедиться, что получится исходный многочлен .

Рассмотренный алгоритм на самом деле не сложен, и рука набивается довольно быстро.

Знаменатель. Разборки аналогичны. Так как число является корнем уравнения , то соответствующий многочлен делится на без остатка:

В итоге

Открываем решение и записываем всё, что нажито непосильным трудом:

Приключения продолжаются – после сокращения неопределённость не устранена. Но уже легче, квадратные трёхчлены можно разложить на множители тривиальным способом, рассмотренным на первом уроке про пределы функций. Тем не менее, в целях закрепления алгоритма продолжим деление.

 

Умножаем на делитель :
, результат записываем ниже, отчёркиваем и проводим почленное вычитание:

В остатке получился ноль, значит, деление выполнено верно. Таким образом:

Аналогично расправляемся со знаменателем:

То есть

Снова открываем решение и получаем окончательный ответ:

Выполним проверку. Дважды используем правило Лопиталя:

Сравните трудоёмкость двух способов решения. Думаю, теперь вам понятно, почему запрещают применять правило Лопиталя

ример 2

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Вернёмся к другому известному способу решения пределов, повысив их сложность:

Пример 3

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Неопределённость ликвидируется стандартным методом – умножением и делением на сопряженное выражение. Единственное отличие, приём используется два раза:

1) для устранения разности домножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение ;

2) для устранения разности домножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение .

Далее дважды используется формула . Сама техника решения подробно рассмотрена на уроке Пределы. Примеры решений.

Оформляем:

Оба вышеуказанных действия выгоднее выполнить «за один присест». Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения:

Проверим решение по правилу Лопиталя:

Пример 4

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Это более сложный пример для самостоятельного решения.

Иногда в пределах рассматриваемого типа приходится использовать не только формулу разности квадратов , но и формулу разности кубов:

Пример 5

Найти предел

Неопределённость устраняется умножением и делением на сопряженное выражение. Аналогичные, но более простые пределы мы рассмотрели в Примерах №№11-13 урокаМетоды решения пределов. Только здесь работает формула разности кубов:

В данном случае . И, согласно формуле, для разности сопряженным выражением будет вот этот вот страх:

Умножим и разделим на сопряженное выражение, чтобы использовать формулу :

Тоже знакомая картина….

Старшая степень числителя: 2
Старшая степень знаменателя: 2

Таким образом, числитель и знаменатель одного порядка роста, и сразу можно сказать, что предел равен конечному числу.

Разделим числитель и знаменатель на :

Готово.

Пример 6

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. После умножения/деления на сопряженное выражение и упрощений предел будет сведён к случаю Примеров №№1-3 статьи о бесконечно малых функциях. Полное решение и ответ в конце урока.

А сейчас обещанные на уроке Методы решения пределов плюшки на замену переменной. Повышенной сложности:

Пример 7

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Аргумент стремится к не самому распространённому числу: , с ходу и не сообразишь, есть здесь вообще неопределённость или нет. Поэтому откроемтригонометрическую таблицу, и выпишем следующие значения:

Проверим предел на наличие неопределённости:

Да, действительно, два бублика.

Проведём предварительный анализ. В пределе находятся тригонометрические функции, и решение, скорее всего, сведётся к первому замечательному пределу. В этой связи напрашивается замена, после которой новая переменная будет стремиться к нулю.

Но перед заменой целесообразно провести некоторое упрощение выражения. В пределе есть тангенс, а работать с этой функцией неудобно (как и с котангенсом тоже). Таким образом, сначала лучше свести всё дело к синусам и косинусам. Пример свирепый, поэтому я закомментирую каждый шаг:

(1) Используем формулу .
(2) Дробь числителя приводим к общему знаменателю.
(3) Избавляемся от трёхэтажности дроби, а также от косинуса, указывая, что .
(4) Выносим константу за значок предела.

Неопределённость никуда не делась, но от тангенса мы избавились, что уже является небольшим достижением

Проведем замену переменной:
Если , то
Ну и ещё – из замены нужно выразить: .

(5) Выполняем подстановку в соответствии с выполненной заменой.
(6) Используем тригонометрические формулы:

(7) Используя значения , упрощаем выражение.
(8) Раскрываем скобки в числителе и знаменателе.
(9) Приводим подобные слагаемые в числителе.
(10) Константу –2 выносим за значок предела. В знаменателе переставляем слагаемые.

И снова два нуля, причём не видно как решать предел дальше…. Но если хорошенько пошуршать в тригонометрических формулах, то история закончится счастливым концом:

(11) Используем формулы половинного угла: . В числителе избавляемся от косинуса, указывая, что .
(12) В знаменателе выносим за скобки .
(13) Сокращаем числитель и знаменатель на .

Забавно, что всё обошлось даже без замечательного предела.

Не знаю, кто и на каком месте будет рвать себе волосы, но правило Лопиталя даёт ответ фантастически быстро:

Пример 8

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Это пример для самостоятельного решения. В тригонометрической таблице нет информации об отрицательных значениях угла. Понятие ориентации угла дано в статьеПростейшие задачи с прямой на плоскости. Наглядная иллюстрация с конкретными примерами также фигурирует при нахождении аргумента комплексного числа. Чтобы воспользоваться таблицей, прибавляем один «оборот»: , то есть и – это один и тот же угол. Таким образом:

Полное решение и ответ в конце урока

Как-то незаслуженно оказались забыты степени:

Пример 9

Найти предел

На повестке дня неопределённость , и решение, очевидно, нужно свести к замечательной формуле . Но в нашем пределе нет единицы, только одинокий косинус. Что делать? Организуем!

(1) Приводим основание степени к виду , для этого используем искусственный приём: прибавляем и вычитаем единицу. Таким образом:
(2) В целях применения 2-го замечательного предела возводим основание в степень , и, чтобы ничего не изменилось – в обратную степень .
(3) Используем замечательный предел .
(4) Теперь в показателе необходимо устранить неопределённость 0:0. Сначала меняем знак в числителе: , минус выносим из предела.
(5) В числителе используем формулу .
(6) Искусственно преобразуем знаменатель, чтобы получить два первых замечательных предела.

Очень кстати в одном примере подвернулись сразу оба замечательных предела, и после их повторения во второй части статьи рассмотрим:

 

Замечательные пределы с экспонентой и логарифмом

На практике чаще встречаются пределы и особенно их частные случаи . Предела лично ни разу не видел, а может быть, и видел, да не помню.

Иногда перечисленные пределы называют третьим, четвёртым и пятым замечательным пределом, но своё негативное отношение к избыточной нумерации я уже высказал на урокеПравила Лопиталя, поэтому пусть это будут «просто» замечательные пределы без номеров.

Сама техника решения мало чем отличатся от первого замечательного предела:

Пример 10

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Чтобы использовать замечательный предел необходимо применить уже знакомый искусственный приём: в знаменателе умножаем и делим на 2:

Вот и всё. Напоминаю, что в качестве параметра «альфа» может выступать не только переменная «икс», но и сложная функция, лишь бы она стремилась к нулю. В рассмотренном примере .

Короткий закусочный предел для самостоятельного решения:

Пример 11

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Заметьте, что условие задачи не ограничивает нас в выборе действий, примеры можно было решить и через замечательные эквивалентности:
(эквивалентность ).


(эквивалентности )

Какой способ выбрать? Рекомендую всё-таки решать через замечательные пределы (конечно, если пример не дико сложный) – выглядит солиднее.

Существенная особенность пределов состоит в том, что при перестановке числителя и знаменателя результаты тоже «переворачиваются»:

Пример 12

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Как говорится, мал пример да заковырист….

Решаем:

На первом шаге нужно перейти к новой переменной ТАК, чтобы она стремилась к нулю.
Проведём замену: , тогда:
Если , то

Для самостоятельного решения:

Пример 13

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Если возникли затруднения на начальном этапе, пожалуйста, вернитесь к Примеру №9.

Разберём напоследок что-нибудь посложнее. Типовой и довольно распространённый предел:

Пример 14

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Сначала полное решение, потом комментарии:

(1) На первых шагах избавляемся от синуса. Умножим числитель и знаменатель на .
(2) Используем первый замечательный предел , где . Константу выносим из предела.
(3) Проводим искусственное преобразование числителя. Возьмите его на заметку, разность экспонент раскручивается именно так.
(4) Почленно делим числитель на знаменатель.
(5) Числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 2. Числитель и знаменатель второй дроби умножаем на –3.
(6) В обеих дробях используем замечательный предел , после чего остались от козлика рожки да ножки.

Используя правило Лопиталя, выполним проверку:

Заключительный пример посвящен раритету . Если его не встречал я, то это не значит, что его не встретите вы. Встретите. Причём, прямо сейчас =)

Пример 15

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Это пример для самостоятельного решения.

Всего примеров получилось таки 15-ть, а не 20-ть, и ваш покорный слуга постарался отобрать самые распространенные вещи. Желающие ознакомиться с другими пределами, могут закачать соответствующий архив решений в банке задач по высшей математике. Однако должен предупредить, будьте осторожнее – некоторые экземпляры не то, чтобы сильно сложные, но точно рождены воспалённым сознанием. Я постарался разобрать тему без навороченных нелепых примеров, поскольку убеждён, что студент должен мучиться с удовольствием =)

И приснится вам сегодня правило Лопиталя =)

Решения и ответы:

Пример 2

Разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе используем формулу суммы кубов :

Знаменатель:

Таким образом:

Пример 4

Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Пример 6

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, используем формулу разности кубов :

Пример 8
Используем формулу :

Проведём замену переменной:
Если , то

Используем тригонометрическую формулу :

Используем формулы половинного аргумента :

Пример 11


Умножаем числитель и знаменатель на , используем замечательный предел , где . В конце используем 1-ый замечательный предел:

Пример 13

Пример 15

 




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.