Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Уравнение в целых числах



Комбинация (x,y,z) трех натуральных чисел, лежащих в диапазоне от 10 до 20 включительно, является отпирающей для кодового замка, если выполнено соотношение F(x,y,z)=99. Найдите все отпирающие комбинации для замка с
F(x,y,z)=3x2y27z.

Решение

Найдите допустимые варианты для остатков от деления неизвестных x и y на 7. Таких вариантов будет восемь. Учитывая принадлежность неизвестных к заданному диапазону, найдите допустимые варианты для (x,y) (19 вариантов). Для каждой пары (x,y) найдите z.

Периодическая последовательность

Дана последовательность чисел C1, C2, ..., Cn, ... в которой Cn есть последняя цифра числа nn. Докажите, что эта последовательность периодическая и ее наименьший период равен 20.

Ответ

Докажем, что 20 является периодом рассматриваемой последовательности. Заметим, что у двух натуральных чисел а и b совпадают цифры единиц тогда и только тогда, когда их разность делится на 10. Таким образом, мы достигнем цели, если докажем, что разность (n+20)n+20nn делится на 10 для всех натуральных значений n. Исходя из того, что pkqk делится на (pq), получаем, что (n+20)n+20nn+20 делится на ((n+20)20)=20. Кроме того, nn+20nn=nn(n201)=nn((n4)51) делится на n(n41) для всех n > 1. Вместе с тем, n(n4-1)=n(n-1)(n+1)(n2+1)=n(n-1)((n+2)(n-2)+5)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1), где каждое из слагаемых делится на 2 (так как содержит произведение n(n+1)) и делится на 5 (поскольку первое слагаемое есть произведение пяти последовательных чисел, а второе содержит множитель 5). Следовательно, nn+20nn делится на 10. Число
(n+20)n+20nn=((n+20)n+20nn+20)+(nn+20nn)

делится на 10, так как каждое из слагаемых делится на 10.

Проверим, что 20 является наименьшим периодом. Выписывая первые 20 значений последовательности C1, C2, ...

1 4 7 6 5 3 6 9 0 1 6 3 6 5 6 7 4 9 0

легко убедиться, что она не имеет периода меньшей длины.

Колонки

Буквы русского алфавита занумерованы в соответствии с таблицей:

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Ы Э Ю Я

Для зашифрования сообщения, состоящего из n букв, выбирается ключ К - некоторая последовательность из n букв приведенного выше алфавита. Зашифрование каждой буквы сообщения состоит в сложении ее номера в таблице с номером соответствующей буквы ключевой последовательности и замене полученной суммы на букву алфавита, номер которой имеет тот же остаток от деления на 30, что и эта сумма.

Прочтите шифрованное сообщение: РБЬНТСИТСРРЕЗОХ, если известно, что шифрующая последовательность не содержала никаких букв, кроме А, Б и В.

Решение
Каждую букву шифрованного сообщения расшифруем в трех вариантах, предполагая последовательно, что соответствующая буква шифрующей последовательности есть буква А, Б или буква В:

шифрованноесообщение

 

Р Б Ь Н П Т С И Т С Р Р Е З О Х
 
вариант А

 

П А Щ М О С Р З С Р П П Д Ж Н Ф
 
вариант Б

 

О Я Ш Л Н Р П Ж Р П О О Г Е М У
 
вариант В

 

Н Ю Ч К М П О Е П О Н Н В Д Л Т

Замечание. Из полученной таблицы можно было найти такое исходное сообщение как НАШ МОРОЗ ПОПОВ ЕМУ которое представляется не менее осмысленным, чем приведенное выше. А если предположить одно искажение в шифрованном сообщении (скажем, в качестве 11-й буквы была бы принята не буква Р, а буква П), то, наряду с правильным вариантом, можно получить и такой: НАШ МОРОЗ ПОМОГ ЕМУ Число всех различных вариантов исходных сообщений без ограничений на осмысленность равно 316 или 43046721, т. е. более 40 миллионов!

Кодовый замок

При установке кодового замка каждой из 26 латинских букв, расположенных на его клавиатуре, сопоставляется произвольное натуральное число, известное лишь обладателю замка. Разным буквам сопоставляются не обязательно разные числа. После набора произвольной комбинации попарно различных букв происходит суммирование числовых значений, соответствующих набранным буквам. Замок открывается, если сумма делится на 26.

Докажите, что для любых числовых значений букв существует комбинация, открывающая замок.

Решение

Обозначим через S(n) остаток от деления на 26 суммы чисел, которые соответствуют первым n буквам алфавита (n=1,2,...,26) 0  S(n)  25.

Если среди чисел S(1), S(2), ..., S(26) есть нуль: S(t)=0, то искомой ключевой комбинацией является цепочка первых t букв алфавита.

Если среди чисел S(1), S(2), ..., S(26) нет нуля, то обязательно найдутся два одинаковых числа: S(k)=S(m) (считаем, что k < m). Тогда искомой ключевой комбинацией является участок алфавита, начинающийся с (k+1)-й и заканчивающийся m-й буквой.




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.