Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Экономический анализ задач с использованием теории двойственности



 

Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель

 

 

при ограничениях:

 

 

Двойственная задача имеет вид

 

 

при ограничениях:

 

ТЕОРЕМА 3. Значения переменных уi в оптимальном реше­нии двойственной задачи представляют собой оценки влия­ния свободных членов системы ограничений исходной задачи на оптимальное значение ее целевой функции, т.е.

 

Примем Li ≈ ΔLi, bi ≈ Δbi, тогда ΔLi ≈ yi • Δbi.

Для задачи оптимального использования сырья это уравне­ние показывает, что при изменении i-го ресурса оптимальный доход является линейной функцией от его приращения, причем коэффициентом служит уi — i-я компонента оптимального ре­шения двойственной задачи.

Если yi мало, то значительному увеличению i-го ресур­са будет соответствовать небольшое увеличение оптимального дохода и ценность ресурса невелика.

Если yi = 0, то при увеличении i-го ресурса оптимальный доход остается неизменным и ценность этого ресурса равна нулю. В самом деле, сырье, запасы которого превышают по­требности в нем, не представляет ценности для производства и его оценку можно принять за нуль.

Если уi велико, то незначительному увеличению i-го ресур­са будет соответствовать существенное увеличение оптималь­ного дохода и ценность ресурса высока. Уменьшение ресурса ведет к существенному сокращению выпуска продукции.

Переменную уi считают некоторой характеристикой цен­ности i-го ресурса. В частности, при увеличении i-го ресурса на единицу (Δbi = 1) оптимальный доход возрастает на yi, что позволяет рассматривать yi как "условную цену", оценку единицы i-го ресурса, объективно обусловленную оценку.

Так как уi представляет частную производную от опти­мального дохода по i-му ресурсу, то уi характеризует скорость изменения оптимального дохода при изменении i-го ресурса.

С помощью yi можно определить степень влияния огра­ничений на значение целевой функции. Предельные значения (нижняя и верхняя границы) ограничений ресурсов, для кото­рых yi остаются неизменными, определяются по формулам:

 

 

где xj значение переменной в оптимальном решении; dijэлементы матрицы (dij) = А-1, обратной к матрице базиса оптимального решения, для которой А = (aij)mxn.

Если в план включаются новые виды продукции, то их оценка находится по формуле

 

 

Если Δj < 0, то новый вид продукции улучшает план. При Δj > 0 нецелесообразно включать новый вид продукции.

 

22.5. Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов

 

Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4 типов: А, Б, В, Г соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат каждого типа сырья на единицу из­делия первого вида составляют соответственно 1, 2, 1, 0, вто­рого вида — 2, 1, 1, 1 и третьего вида — 1, 1, 0, 1. Прибыль от реализации единицы изделия первого вида равна 3 усл. ед., второго — 4 усл. ед., третьего — 2 усл. ед.

Требуется:

1) составить план производства трех видов, максимизиру­ющих прибыль;

2) определить дефицитность сырья;

3) установить размеры максимальной прибыли при изме­нении сырья А на 6 т, Б — на 3 т, В — на 2 т, Г — на 2 т. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное их влияние на прибыль;

4) оценить целесообразность введения в план производства фирмы нового вида изделий (четвертого), нормы затрат на единицу которого соответственно равны 1, 2, 2, 0, а прибыль составляет 15 усл. ед.

Решение. 1. Обозначим через = (x1, x2, x3) план про­изводства изделий трех видов, тогда математическая модель задачи примет вид

 

 

при ограничениях:

 

 

Решаем задачу симплексным методом, при этом последняя таблица будет иметь вид табл. 22.3.

 

 

Из таблицы следует

 

 

Согласно теоремам двойственности

 

 

2. Наиболее дефицитным является сырье типа В, для кото­рого двойственная оценка у3 = 2. Менее дефицитным является сырье вида Б, для которого у2 = 1/2. Совсем не дефицитным является сырье A (y1 = 0).

Для определения интервала устойчивости оценок найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов при базис­ных переменных в оптимальном решении системы ограниче­ний. Базисными переменными в оптимальном решении явля­ются x1, x2, х3, x4. Матрица коэффициентов при этих переменных в системе ограничений имеет вид

 

 

Тогда обратная матрица для матрицы А следующая:

 

 

Найдем интервал устойчивости оценок по видам сырья:

 

 

Интервал устойчивости оценок по отношению к первому огра­ничению:

 

 

Аналогично определим интервалы устойчивости оценок по отношению к ограничениям остальных видов сырья:

 

 

Интервалы устойчивости оценок по отношению ко второму ограничению:

 

 

к третьему ограничению:

 

 

к четвертому ограничению:

 

 

3. Изменения сырья согласно условиям задачи на +6, -3, +2, +2 т приводят к ограничению запаса сырья до 24, 13, 10, 8 т соответственно. Поскольку эти изменения находятся в пре­делах устойчивости оценок, на что указывают интервалы, то раздельное их влияние на прибыль определяется по формуле

 

 

тогда

 

 

 

Суммарное влияние на прибыль:

 

 

Если изменение сырья не находится в пределах устойчивости оценок, то необходимо найти новые условные оценки, т.е. ре­шить задачу симплексным методом с изменением количества сырья соответствующих видов.

4. Для оценки целесообразности введения в план производ­ства фирмы четвертого вида изделий используем формулу

 

 

Так как прибыль превышает затраты, то введение в план про­изводства четвертого вида изделий целесообразно.

УПРАЖНЕНИЯ

 

Для следующих задач составить математические модели двой­ственных задач и по решению исходной найти оптимальное решение двойственной.

22.1. L( ) = x1 + 3x3 + 3x4 min при ограничениях:

 

22.2. L( ) = 2х1 + х2 3x3 + х4 max при ограничениях:

 

22.3. L( ) = -х1 + x2 + 6x3 — х4min при ограничениях:

 

 

22.4. L( ) = -3x2 + х3 – х4 → max при ограничениях:

 

22.5. L( ) = -3x1 + x2+ 3x3 – 4x4 min при ограничениях:

 

 

Составить математическую модель двойственных задач и по ее решению найти оптимальное решение исходной.

22.6. L( ) = l,5x1 + 2х2 max при ограничениях:

 

22.7. L( ) = x1 - 2x2 + x4 → minпри ограничениях:

 

 

22.8. L( ) = -2x1 + х2min при ограничениях:

 

22.9. Для производства трех изделий А, В и С используются три вида сырья. Каждый из них используется в объеме, не пре­вышающем 180, 210 и 236 кг. Нормы затрат каждого из видов сырья на одно изделие и цена единицы изделий приведены в табл. 22.4.

 

 

Определить план выпуска изделий, обеспечивающий полу­чение максимального дохода.

Составить для данной задачи двойственную и найти:

1) оптимальный план двойственной задачи;

2) интервалы устойчивости двойственных оценок;

3) увеличение максимального дохода при увеличении коли­чества сырья 2-го и 3-го видов на 80 и 160 кг соответ­ственно и при уменьшении количества сырья 1-го вида на 40 кг. Оценить раздельное и суммарное влияние этих изменений;

4) целесообразность введения в план производства 4-го из­делия, нормы затрат сырья на одно изделие которого составляют 2, 4 и 6 кг, а цена изделия равна 18 усл. ед.;

5) оптимальные планы исходной и двойственной задач, ес­ли количество сырья 1, 2 и 3 равно 140, 250 и 240 кг соответственно.

 




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.