Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Способы представления дискретной случайной величины



Случайные величины

Определение и виды случайных величин

Очень часто на практике приходится иметь дело с величинами, значения которых нельзя предсказать заранее. Такими величинами являются, например, число клиентов, обратившихся в банк в течение дня, количество попаданий в мишень при нескольких выстрелах, расстояние от точки попадания до центра мишени, количество осадков за определенный промежуток времени и т. д. На каждую из этих величин действует большое количество мелких факторов, которые трудно, иногда и невозможно, а иногда и не нужно учитывать по отдельности. Например, на полет снаряда, кроме основных — калибра орудия, величины заряда и наводки — влияют скорость и направление ветра, плотность воздуха, зависящая от температуры, осадки и т. п. Поскольку сами эти факторы не остаются неизменными, то и их влияние на определяемую в опыте величину будет также меняться. В результате от опыта к опыту будет получаться несколько иное значение измеряемой величины.

Случайной называется переменная величина, значения которой зависят от случайного исхода опыта.

Некоторые из случайных величин, например, число клиентов в банке, количество попаданий в мишень могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно перечислить.

Случайная величина, которая может принимать значения некоторой конечной или бесконечной числовой последовательности, называется дискретной (краткое обозначение ДСВ).

Случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого промежутка или промежутков, называется непрерывной (краткое обозначение НСВ).

Непрерывной случайной величиной является, например, количество осадков или расстояние от точки попадания до центра мишени.

Случайные величины принято обозначать большими латинскими буквами ... Чтобы описать случайную величину, нужно не только знать, какие значения она принимает, но и как часто, т. е. с какой вероятностью встречаются те или иные значения. В опыте случайная величина обязательно примет одно из своих значений, поэтому полная (суммарная) вероятность равна 1. То, как эта полная вероятность поделена между различными значениями случайной величины, называется распределением случайной величины.

Способы описания распределения для ДСВ и НСВ несколько различны, поэтому рассмотрим их отдельно.

Способы представления дискретной случайной величины

Законом распределения ДСВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Таблица, в которой представлены значения случайной величины и соответствующие им вероятности (т. е. вероятности того, что примет значение, равное ), называется рядом распределения. Если в таблице учтены все возможные значения , то должно выполняться условие

.

Информация о распределении, представленная на графике точками с координатами ( ) и соединяющей их ломаной, называется многоугольником (полигоном) распределения.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , называется функцией распределения , т. е. . Для ДСВ

.

Пример. Батарея состоит из 3 орудий. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого орудия = 0,5; для второго = 0,6; для третьего — = 0,8. Все орудия делают по одному выстрелу. Охарактеризовать случайную величину Х — число попаданий в цель.

Очевидно, что Х может принять одно из четырех значений: 0, 1, 2, 3 .

= 0, если ни одно орудие не попадет;

= 1, если попадет одно орудие (либо первое, либо второе, либо третье); = 2, если попадут два орудия: либо первое и второе, либо первое и третье, либо второе и третье;

= 3, если попадут все три орудия.

Сделаем проверку: .

Выпишем ряд распределения

0,04 0,26 0,46 0,24

Полигон распределения представлен на рисунке. Функция распределения представлена таблицей и графиком.

0,04 0,3 0,76

 

Данный пример иллюстрирует следующие свойства функции распределения ДСВ (которые можно легко доказать, учитывая, что вероятность любого события заключена в пределах от 0 до 1).

1) – ступенчатая разрывная функция;

2) – неубывающая функция (т. е. либо возрастает, либо постоянна);

3) = 0, для всех , где – наименьшее из всех значений ;

4) = 1, для всех , где – наибольшее из всех значений .

Приведенные характеристики дают полное и ясное представление о случайной величине. Однако, в случае, когда ДСВ имеет много значений ( десятки, сотни и т. д. ) они будут очень громоздкими и требуют много места. Кроме того, во многих практических задачах вовсе нет необходимости так подробно описывать случайную величину.




©2015 studenchik.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.